Ungleichung über Induktion beweisen |
| 15.04.2004, 08:00 | slippy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Ungleichung über Induktion beweisen ich habe hier ein Problem mit einer Ungleichung ... Die Ungleichung an sich schaut so aus : für alle n Bitte nicht gleich mit Steinen nach mir werfen 
Ich habe versucht mir den "Vollständigen Induktions"-Workshop durchzulesen und meine Quintesessenz bezgl. der Ungleichung daraus zu ziehen. Leider bin ich wohl ein wenig zu "dumm" dafür. Vollständige Induktion mit Gleichungen sind auch kein Problem mehr für mich, nur hab ich leider das Problem, dass ich nicht weiss, wie ich an o.g. Aufgabe ran gehen soll. Es scheint auf den ersten Blick trivial, da ja offensichtlich ist, dass der Wert immer kleiner gleich 2 ist. Aber wie (*schnief*) beweis ich das jetzt ? Wenn ich für n0=1 setzte ist es offensichtlich, dass die Lösung 1 ergibt und dies ist eindeutig . Für den Schritt n0 |--> n0+1 hapert es schon bei mir. Klar ist mir, dass bei grösserem n0 der Folge-Wert kleiner 1 wird, aber wie geh ich jetzt an die ganze Aufgabe ran ??! Über Hilfe würd ich mich echt freuen. Viele Grüße, slippy |
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| 15.04.2004, 09:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Ungleichung mit vollständiger Induktion Ich könnte es mir einfach machen und darauf verweisen, daß bereits Euler den Wert der unendlichen Reihe bestimmt hat. Da die rechte Seite kleiner als 2 ist, ist auch jede Teilsumme kleiner als 2. Fertig ist der Beweis! Aber das ist sicherlich nicht das, was du erwartest. Ich schlage daher vor, eine andere Behauptung mit vollständiger Induktion zu beweisen, nämlich Wenn das bewiesen ist, folgt erst recht, was du zeigen willst, denn der Ausdruck rechts ist stets kleiner als 2. Und der Beweis der abgeänderten Behauptung mit vollständiger Induktion geht so: 1. Induktionsanfang n=1 Das ist klar: Beide Seiten der Ungleichung liefern 1 2. Induktionsschritt: Du nimmst an, daß die Formel für ein konkretes n gilt und mußt nachweisen, daß sie dann auch für n+1 gilt. Dazu spaltest du die Summe auf in alle Glieder von k=1 bis k=n einerseits und den letzten Summanden 1/(n+1)² andererseits. Auf den ersten Teil kannst du die Induktionsannahme anwenden und für 1/(n+1)² gilt der folgende Trick: Es ist stets (n+1)²>n·(n+1) (denn ein Produkt aus positiven Faktoren wird kleiner, wenn man einen Faktor verkleinert). Für die Kehrwerte gilt also das Umgekehrte: Und jetzt mußt du nur noch geschickt auf bringen. Das ist natürlich alles sehr trickreich. Ob's einfacher geht, weiß ich nicht. |
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| 15.04.2004, 09:45 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Huch, da habe ich zum ersten Mal probiert, Formeln in meinen Text einzufügen. Das hat aber wohl nicht geklappt! Was habe ich falsch gemacht? |
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| 15.04.2004, 10:05 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast jeweils [\mimetex] statt [/mimetex] geschrieben. Ich hab´s dir mal editiert. Das muss man aber auch nicht jedes Mal von Hand schreiben, es gibt über dem Textfeld beim Antwort erstellen einen Button f(x), der die Tags für dich setzt. Gruß vom Ben |
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| 15.04.2004, 14:20 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » |
Meine Idee wäre die folgende: Es reicht, die Beh. für n=2^m (m \in IN) nachzuweisen. Man majorisiert den Ausdruck (wie beim Verdichtungskriterium) durch eine endliche geometrische Reiche mit q=1/2. Deren Summe kann man ausrechnen, ist immer <2. Direkt mit Induktion kann es nicht gehen, da man im Schritt n->n+1 nicht ...<=2 sichern kann, wenn man nur die Ind.- Beh. Dann doch eher die obige Variante... Liebe Grüße Mario |
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