Brauche Hilfe bei Induktion (einfache Aufgabe)

23.11.2005, 11:11

T3rm1n4T0r

Brauche Hilfe bei Induktion (einfache Aufgabe)

Guten Morgen,
wir nehmen gerade vollständige Induktion durch. Leider hab ich das Verfahren noch nicht so ganz verstanden. Vielleicht kann mir ja hier der ein oder andere zur Erleuchtung verhelfen.
Folgendes Beispiel:
$\begin{eqnarray*} 1+2+4+...+2^{n} = 2^{n+1} -1 \end{eqnarray*}$

Meine Vorgehensweise war nun, dass ich zuerst einmal die Induktionsverankerung beweise, also:
$\begin{eqnarray*} A(1): 2^{0}+2^{1} = 2^{1+1}-1 \end{eqnarray*}$
Stimmt also. Als nächstes muss man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ersetzen:
$\begin{eqnarray*} A(n+1): = 2^{n+2} -1 \end{eqnarray*}$
Dies gilt es nun zu beweisen. Ich hab dann folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} 1+2+4+...+2^{n}+2^{n+1} = 2^{n+1} -1 +2^{n1} \end{eqnarray*}$
Aber was nun? Man kann das in $\begin{eqnarray*} 1+2+4+...+2^{n}+2^{n+1} = 4^{n+1} -1 \end{eqnarray*}$ zusammenfassen, aber was bringt mir das. An dieser Stelle weiß ich auch gar nicht mehr zu welchem Ergebnis ich kommen soll. Wann ist bewiesen, dass die Formel gilt?
Oder muss ich irgendwie durch Umformung zu $\begin{eqnarray*} A(n+1): = 2^{n+2} -1 \end{eqnarray*}$ gelangen? Nur das würde ja nicht mehr gehen.

Bitte um Hilfe Augenzwinkern

Gruß,
T3rm1

23.11.2005, 11:40

Pöken

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Hi!
Du machst beim Zusammenfassen einen Fehler!

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} + 2^{n+1} = 2*2^{n+1}=... \end{eqnarray*}$

Als Erinnerung:
$\begin{eqnarray*} a * a^2 = a^{2+1} = a^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt klappt's bestimmt!

23.11.2005, 11:58

sqrt(2)

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Dein weiteres Vorgehen, wäre zu beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}-1+2^{n+1}=2^{n+2}-1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du Pökens Hinweis befolgst, bist du auch fast schon am Ziel.

23.11.2005, 12:03

klarsoweit

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RE: Brauche Hilfe bei Induktion (einfache Aufgabe)

Zitat:

Original von T3rm1n4T0r
aber was bringt mir das. An dieser Stelle weiß ich auch gar nicht mehr zu welchem Ergebnis ich kommen soll. Wann ist bewiesen, dass die Formel gilt?

Erstmal hilft es, ordentlich hinzuschreiben, was A(n) ist:
$\begin{eqnarray*} A(n): 1+2+4+...+2^{n} = 2^{n+1} -1 \end{eqnarray*}$
Dann schauen wir, was A(n+1) ist. Zunächst ist deine Schreibweise $\begin{eqnarray*} A(n+1): = 2^{n+2} -1 \end{eqnarray*}$ formaler Unsinn. Es müßte so lauten:
$\begin{eqnarray*} A(n+1): 1+2+4+...+2^n +2^{n+1} = 2^{n+2} -1 \end{eqnarray*}$
Beim Induktionsschritt n -> n+1 geht es darum, daß die Aussage A(n+1) bewiesen wird, wobei man verwenden darf, daß die Aussage A(n) gilt.
Wenn du dir in A(n+1) die linke Seite anschaust $\begin{eqnarray*} 1+2+4+...+2^n +2^{n+1} \end{eqnarray*}$ dann ist dort bis auf den letzten Summanden die linke Seite von A(n) drin. Das kannst du also mit ... ersetzen.

23.11.2005, 20:22

Mathespezialschüler

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