Cauchyfolge

23.11.2005, 13:40

Sunwater

Cauchyfolge

Hi:

Ich habe eine Zahlenfolge {an} mit:

an = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{1 + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

und soll zeigen, dass das eine Cauchyfolge ist... - leider komme ich damit noch nicht ganz klar... - hab noch kein Beispiel gesehen um mal zu sehen wie das funktioniert...

also erstmal kann ich das ja dann schreiben als:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \frac{\sqrt{n}}{1 + \sqrt{n}} - \frac{\sqrt{m}}{1 + \sqrt{m}} \end{vmatrix} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n,m > no.

Aber wie geht das dann weiter? Ich kann doch die n und m nicht irgendwann zusammenfassen - wie soll ich also so ein no bestimmen?

wäre echt dankbar das mal zu kapieren

23.11.2005, 13:44

20_Cent

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RE: Cauchyfolge

Zitat:

Original von Sunwater
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \frac{\sqrt{n}}{1 + \sqrt{n}} - \frac{\sqrt{m}}{1 + \sqrt{m}} \end{vmatrix} \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n,m > no.

wie kommst du auf

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{m}}{1 + \sqrt{m}} \end{eqnarray*}$ für den Grenzwert?

ich würde einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt n \end{eqnarray*}$ im zähler und im nenner ausklammern, kürzen, dann siehst du den grenzwert. dann kannst du den $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -beweis machen.
mfG 20

23.11.2005, 14:20

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Zitat:

Original von 20_Cent
wie kommst du auf

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{m}}{1 + \sqrt{m}} \end{eqnarray*}$ für den Grenzwert?

Da gehst du etwas zu weit: Das hat Sunwater gar nicht gesagt!

Er hat nur nochmal die Forderung an eine Cauchy-Folge aufgeschrieben.

23.11.2005, 14:26

20_Cent

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stimmt.
aber da jede konvergente folge auch eine cauchyfolge ist, reicht es, wenn man nachweist, dass die folge konvergent ist. das geht doch so, wie ich beschrieben hab, oder?
mfG 20

23.11.2005, 14:32

Sunwater

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ich soll aber das Problem des Grenzwertes umgehen und ohne den Grenzwert zu kennen zeigen, dass die Folge konvergiert und das geht doch über Cauchy... - ich hab ja kapiert, dass man zeigen soll, dass der Abstand zweier Folgeglieder immer kleiner wird, aber wie man das explizit zeigt weiß ich nicht...

24.11.2005, 21:09

IchDerRobot

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RE: Cauchyfolge
Hallo Sunwater,

es ist $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}} = \frac{1}{1+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

Indem du ein n_0 findest, welches
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\sqrt{n}} < \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ für alle n > n_0
erfüllt, findest du ein n_0, welches
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}} - \frac{\sqrt{m}}{1+\sqrt{m}}\right| = \left|-\left(1 - \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}\right) + \left(1 - \frac{\sqrt{m}}{1+\sqrt{m}}\right)\right| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \left|\left(1 - \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}\right)\right| + \left|\left(1 - \frac{\sqrt{m}}{1+\sqrt{m}}\right)\right| \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle n, m > n_0
erfüllt.

Was ich hier vorschlage ist folgendes: Beweise dass die Folge konvergiert, und dann tue so, als würdest du nur zeigen, dass sie eine Cauchy-Folge ist.

Robot

24.11.2005, 22:05

Sunwater

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danke für den Tipp, aber mittlerweile haben wir es rausbekommen...

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