ableitung

23.11.2005, 14:30

Anti-Mathematiker

ableitung

hallo. wie leite ich

$\begin{eqnarray*} t( \alpha )= \sqrt{\frac{g*sin \alpha}{2}* \frac{10}{cos \alpha}} \end{eqnarray*}$

ab?

23.11.2005, 14:38

20_Cent

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du brauchst die Kettenregel und die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{\cos x} \end{eqnarray*}$ , bzw $\begin{eqnarray*} \tan x \end{eqnarray*}$
Die kannst du entweder nachgucken, oder mit Quotientenregel ableiten.
mfG 20

23.11.2005, 14:44

mercany

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Zitat:

Original von 20_Cent
Die kannst du entweder nachgucken, oder mit Quotientenregel ableiten.
mfG 20

Wenn man weiß, was Sinus und Cosinus abgeleitet ergibt, dann kann man auch die Ableitung von Tangens berechnen. Augenzwinkern

Gruß, mercany

23.11.2005, 14:45

Anti-Mathematiker

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$\begin{eqnarray*} t'( \alpha )= \sqrt\frac{1}{2} *\frac{2 sin \alpha + cos^{2}\alpha}{2 \sqrt{ \frac{sin \alpha}{2}}}* (-\frac{sin \alpha}{2 \sqrt{ \frac{10}{cos^{2} \alpha}}}) \end{eqnarray*}$

das hab ich jetzt raus

23.11.2005, 14:47

20_Cent

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nein, das ist falsch. bei der kettenregel musst du die innere ableitung machen und dass mal die äußere, wobei bei der äußeren der "inhalt" gleich bleibt, also brauchst du bei der ableitung auf jeden fall einen term, indem der inhalt der wurzel wieder auftaucht.
mfG 20

23.11.2005, 14:58

Anti-Mathematiker

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ja toll. ihr schreibt immer so schön innere ableitung mal äußere. ich weiss nicht mal was was davon ist. kann mir das mal bitte einer erklären? traurig

23.11.2005, 15:02

20_Cent

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RE: ableitung

Zitat:

Original von Anti-Mathematiker
$\begin{eqnarray*} t( \alpha )= \sqrt{\frac{g*sin \alpha}{2}* \frac{10}{cos \alpha}} \end{eqnarray*}$

die innere ableitung ist die ableitung des terms:

$\begin{eqnarray*} \frac{g*sin \alpha}{2}* \frac{10}{cos \alpha} = \frac{g*5*\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = g*5*\tan{\alpha} \end{eqnarray*}$

die äußere ableitung ist die ableitung der wurzel, also die ableitung von:

$\begin{eqnarray*} (...)^{1/2} \end{eqnarray*}$

dabei lässt du das innere stehen.
mfG 20

23.11.2005, 15:03

klarsoweit

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RE: ableitung
Du hast eine zusammengesetzte Funktion f(x) = g(h(x)).
Z.B. f(x) = sin(x²)
Dann ist h(x) = x² die innere Funktion und g(x) = sin(x) die äußere Funktion.
Ist dieses Prinzip grundsätzlich klar. Wenn ja, dann gilt:
f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

23.11.2005, 15:06

Anti-Mathematiker

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bekomme ich dann f'(x)=cos(x^2)*2x?

23.11.2005, 15:07

20_Cent

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genau.
mfg 20

23.11.2005, 15:07

klarsoweit

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ganz genau! Rock

23.11.2005, 15:13

Anti-Mathematiker

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nochmal ein beispiel: t(x)=(sin(x))/2

dann ist die innere funktion g(x)=1/x
und die äußere f(x)=sin x

dann bekomme ich für t'(x)=(cos(x))/2(sin(x)), oder?

23.11.2005, 15:15

20_Cent

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Zitat:

Original von Anti-Mathematiker
nochmal ein beispiel: t(x)=(sin(x))/2

dann ist die innere funktion g(x)=1/x
und die äußere f(x)=sin x

dann bekomme ich für t'(x)=(cos(x))/2(sin(x)), oder?

nein, das stimmt nicht.
wieso ist die innere funktion 1/x? da steht doch x...
selbst dann wäre deine lösung aber falsch, da die ableitung von 1/x nicht sin x ist.
mfg 20

edit: achja, das 1/2 kann man davor schreiben, ist für die ableitung egal...

23.11.2005, 15:17

klarsoweit

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dann ist die innere funktion g(x)=1/x
und die äußere f(x)=sin x
Dazu würde die Funktion t(x) = sin(1/x) passen.

23.11.2005, 15:17

Anti-Mathematiker

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sorry. ich meinte die innere funktion ist g(x)=x/2

23.11.2005, 15:20

Anti-Mathematiker

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oder ist es einfach nur t'(x)= 1/2*cos x ?

23.11.2005, 15:20

20_Cent

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dann müsste die funktion so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \sin{\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$

und die ableitung stimmt nicht, was ist denn die ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ?

mfg 20

edit: das sieht schon besser, aus, aber bedenke, die innere funktion bleibt erhalten.

23.11.2005, 15:21

Anti-Mathematiker

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die ableitung von x/2 ist doch 1/2, oder?

edit: also t'(x)= 1/2*sin(x)*cos(x)

23.11.2005, 15:22

20_Cent

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ja, das ist richtig.
mfG 20

23.11.2005, 15:24

Anti-Mathematiker

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ist es t'(x)= 1/2*x*cos(x)???

23.11.2005, 15:26

20_Cent

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nein. x kommt in der inneren ableitung nicht vor.

schreib bitte beim nächsten mal dein richtiges t nochmal mit hin.
mfG 20

23.11.2005, 15:36

Anti-Mathematiker

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also: $\begin{eqnarray*} t(x)=\frac{sin (x)}{2} \end{eqnarray*}$

die äußere funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x)=sin (x) \end{eqnarray*}$
die innere funktion ist $\begin{eqnarray*} g(x)=1/2*x \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} t'(x)=\frac{cos(1/2x)}{2} \end{eqnarray*}$

23.11.2005, 15:37

20_Cent

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nein, das 1/2 kann man nach vorne ziehen (hat für die ableitung keinerelei bedeutung, faktorregel)
dann ist die ableitung nur:

$\begin{eqnarray*} t'(x)=1/2*\cos{x} \end{eqnarray*}$

mfG 20

edit: schließlich steht das 1/2 NICHT IM Sinus!

23.11.2005, 15:38

Anti-Mathematiker

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Zitat:

Original von Anti-Mathematiker
oder ist es einfach nur t'(x)= 1/2*cos x ?

siehst du. das hatte ich doch schon geschrieben.

23.11.2005, 15:39

20_Cent

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Zitat:

Original von Anti-Mathematiker
ist es t'(x)= 1/2*x*cos(x)???

meinst du das?
da steht aber was anderes...
mfG 20

23.11.2005, 15:40

Anti-Mathematiker

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nein, dass was ganz oben auf der 2. seite steht (die post von 15:20 Uhr)

23.11.2005, 15:42

20_Cent

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jo, hab ich jetzt auch gesehen... aber da dachte ich ja noch, dass du eine andere funktion gemeint hast...

schreib das nächste mal einfach deine funktion hin, direkt danach deine ableitung, dann kriegen wir das schon hin.
mfG 20

23.11.2005, 15:45

klarsoweit

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Ums nochmal zusammenzufassen:
Wenn die Funktion t(x) = 0,5 * sin(x) heißt, dann gibt es keine innere oder äußere Funktion. Dann wird einfach nach der Faktorregel abgeleitet, das heißt: Konstante Faktoren werden beim Ableiten "durchgezogen".

23.11.2005, 15:51

Anti-Mathematiker

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so, um wieder zu meiner hauptfrage zu kommen:

ich habe $\begin{eqnarray*} t(x)=\sqrt{\frac{g*sin x}{2} *\frac{10}{cos x} } \end{eqnarray*}$
ist die ableitung davon $\begin{eqnarray*} t'(x)=\sqrt{ \frac{g}{2}* \frac{cos x} {2}* \frac{10}{sin x}} \end{eqnarray*}$ ?

23.11.2005, 15:54

klarsoweit

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Ein klares NEIN! Schreib doch mal hin, was äußere und innere Funktionen sind und wie die Ableitungen davon aussehen.

23.11.2005, 16:54

20_Cent

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beachte bei der inneren ableitung, dass g konstant ist, also wie 10 und 2 einfach stehen bleibt. die ableitung von

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$

machst du über die Quotientenregel.
mfG 20

23.11.2005, 16:55

Anti-Mathematiker

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also nach nochmaligem überlegen habe ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} t'(x)=\frac{1}{2}( \frac{g*sin x}{2}* \frac{10}{cos x})^{-1/2}* \frac{g}{2} *cos x * 10*\frac{1}{sin^{2}x}*\frac{sin x*(-sin x)-cos x*cos x}{cos^2 x} \end{eqnarray*}$

ich muss doch jetzt nur noch zusammenfassen, oder?

23.11.2005, 16:57

20_Cent

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Zitat:

Original von Anti-Mathematiker
also nach nochmaligem überlegen habe ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} t'(x)=\frac{1}{2}( \frac{g*sin x}{2}* \frac{10}{cos x}^{-1/2})* \frac{g}{2} *cos x * 10*\frac{1}{sin^{2}x} \end{eqnarray*}$

ich muss doch jetzt nur noch zusammenfassen, oder?

der erste term stimmt soweit, wenn du das ^(-1/2) hinter die klammer schreibst.

die innere Ableitung ist falsch, beachte die Quotientenregel
mfG 20

edit: denke daran, da steht:

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

in der wurzel...

23.11.2005, 17:00

Anti-Mathematiker

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ich habs editiert. war mir zu lang, nochmal alles aufzuschreiben. also bitte oben gucken.

23.11.2005, 17:00

Anti-Mathematiker

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Zitat:

Original von Anti-Mathematiker
also nach nochmaligem überlegen habe ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} t'(x)=\frac{1}{2}( \frac{g*sin x}{2}* \frac{10}{cos x})^{-1/2}* \frac{g}{2} *cos x * 10*\frac{1}{sin^{2}x}*\frac{sin x*(-sin x)-cos x*cos x}{cos^2 x} \end{eqnarray*}$

ich muss doch jetzt nur noch zusammenfassen, oder?

23.11.2005, 19:22

klarsoweit

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Wie leitest du denn $\begin{eqnarray*} h(x) = \frac{g*sin x}{2}* \frac{10}{cos x} = 5g \cdot \frac{sin x}{cos x} \end{eqnarray*}$ ab?

23.11.2005, 19:52

20_Cent

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die äußere ableitung ist ja richtig (wie gesagt.)
bei der inneren ableitung musst du folgendes machen:
die konstanten $\begin{eqnarray*} (5*g) \end{eqnarray*}$ davor schreiben (oder erstmal wegdenken) und dann die Ableitung folgender funktion berechnen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\sin x}{\cos x} \end{eqnarray*}$

wie ich schon erwähnt habe, macht man das mit quotientenregel, schreib mal NUR die ableitung von dieser funktion hin!
mfg 20

edit: kettenregel durch quotientenregel ersetzt... sry

23.11.2005, 21:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von 20_Cent
wie ich schon erwähnt habe, macht man das mit kettenregel, schreib mal NUR die ableitung von dieser funktion hin!
mfg 20

Keine Kettenregel, eher Quotientenregel.

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