Minimalpolynom |
| 23.11.2005, 20:53 | mstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Minimalpolynom Kann mir jemand sagen wie ich das Minimalpolynom von a=sqrt(2)+sqrt(7) über Q ausrechnen kann?? 
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| 23.11.2005, 23:02 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo mstudent, du startest mit dem Polynom (X - a) und versuchst, ein weiteres Polynom so zu finden, dass du auf ihr Produkt die dritte binomische Formel anwenden kannst, in der Hoffnung, dass durch das entstehende Quadrat einige Wurzeln verschwinden. Im ersten Schritt wirst du es also mit (X + a) multiplizieren und das entstehende Polynom ausmultiplizieren. Was kommt dabei raus? Du hast nur noch eine Quadratwurzel übrig. Alles was nicht Quadratwurzel ist, fasst du dann als einen Summanden auf, und die Quadratwurzel als den anderen. Dann findest du nochmal ein Polynom, das nach dem Multiplizieren die Anwendung der dritten binomischen Formel erlaubt, wodurch auf diese Quadratwurzel verschwindet. Robot |
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| 24.11.2005, 20:57 | mstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kannst du bitte es genauer erklären was du unter "starte mit (X-1)...." meinst? Soll ich etwa a=sqrt(2)+sqrt(7) mit (X-1) multiplizieren? |
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| 24.11.2005, 21:13 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genauer lesen:
nix von x-1 weißt du überhaupt, was dein ziel ist? |
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| 24.11.2005, 21:30 | mstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich weiß nur wie man Minimalpolynom bei Matrizen bestimmt.......... aber hier steh ich voll auf dem schlauch......... |
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| 24.11.2005, 21:52 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo mstudent. Vielleicht solltest du dich dann erstmal an einfacheren Zahlen probieren. Was ist denn das Minimalpolynom über Q von: 1. sqrt(2) 2. 3. sqrt(2) + 1 Bei deiner Aufgabe hatte ich dir geraten, das Polynom (X - a) mit (X + a) zu multiplizieren. Ist dir bewusst, dass das Polynom (X - a) zwar den Wert a als Nullstelle hat, aber noch kein Polynom über Q ist? Du musst weitere (geeignete) Faktoren dranmultiplizieren, um ein Polynom über Q zu bekommen. Robot |
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| 24.11.2005, 22:02 | mstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry , ich glaub ich weiß wirklich nicht was ich suche....... denn ich kann mir echt nicht vorstellen wie ein MinPol von sqrt(2) oder sqrt(2)+1 aussehen kann und wie man ihn ausrechnen kann......... |
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| 24.11.2005, 22:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das minimalpolynom von wurzel2 ist relativ leicht es kann kein polynom ersten grades geben, mit rationalen koeffizienten, das wurzel2 als NST hat, also muss das pol. mind. grad 2 haben schnell folgt, dass es ist |
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| 24.11.2005, 23:01 | studentin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm.........dann solte das MinPol von sqrt(2)+1 f=(x+sqrt(2)+1)*(x-sqrt(2)+1) = x^2 +2x-1 stimmt es? zurück zum a=sqrt(2) + sqrt(7) also ich hab so angefangen: (x + sqrt(2) + sqrt(7))*(x - sqrt(2) - sqrt(7)) = x^2 - 9 - sqrt(56) wie kann ich denn weiter machen?? und woher weiß ich welche Grad das MinPol haben muss?? |
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| 24.11.2005, 23:41 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du bist schon fast am Ziel. Nur die mußt du noch wegbekommen. Ich hätte die Rechnung leicht anders ausgeführt: Damit besitzt das Polynom die Nullstelle . Das Minimalpolynom muß daher ein Teiler dieses Polynoms sein. Jetzt überlege, warum dieses Polynom irreduzibel über ist. Dann ist es bereits das Minimalpolynom. |
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| 25.11.2005, 00:00 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo studentin, du bist richtig zum Polynom x^2 - 9 - sqrt(56) gekommen. Nun befolge meinen Hinweis von oben: "Alles was nicht Quadratwurzel ist, fasst du dann als einen Summanden auf, und die Quadratwurzel als den anderen." Also (x^2 - 9) - sqrt(56). Für die binomische Formel brauchst du dann als zweiten Faktor (x^2 - 9) + sqrt(56). Du erhältst das Polynom (x^2 - 9)^2 - 56, und das hat nur noch rationale Koeffizienten. Das Minimalpolynom von sqrt(2) + 1 hast du richtig bestimmt. Leopolds Vorschlag demonstriert, dass es durchaus mehrere Wege geben kann, das Minimalpolynom herzuleiten. Und wie er schrieb, fehlt jetzt nur noch der Nachweis, dass dieses Polynom über Q irreduzibel ist. Robot |
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| 25.11.2005, 22:05 | mstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, so langsam versteh ich es........... also z.B. bei x=dritte sqrt(2) ist MinPol p(x)=x^3 - 2 , ja? aber wie ist denn bei x= dritte sqrt(2) + 1 ?? ich hab wie vorher angefangen: (x - dritte sqrt(2) - 1)*(x + dritte sqrt(2) +1) = ( x^2 - 1) - (dritt sqrt(4) + 2* dritte sqrt(2)) also wenn ich jetzt 3. bin. Formel anwende........... ((x^2 - 1) - (...))*((x^2 - 1) + (...)) = (x^4 - 2x^2 -7) - (dritte sqrt(16) + 4* dritte sqrt(4)) ............so werde ich die Wurzel nicht los........denn ich habe wieder 2 Wurzelzahlen........was mach ich denn jetzt?? Und wie kann ich nachweisen, dass die MinPole über Q irreduzibel sind?? Reicht es nicht wenn ich x in p(x) einsetze?? danke für die hilfe |
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| 27.11.2005, 19:11 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Heuristik mit der 3. binomischen Formel funktioniert leider nur bei Quadratwurzeln. Für höhere Wurzeln brauchst du eine andere Idee: Du kannst du davon überzeugen, dass (x^k - a^k) stets durch (x - a) teilbar ist, und du wirst ein allgemeines Schema für den Quotienten feststellen. Wenn du nun beim Polynom (x - a) startest, kannst du das mit diesem Quotienten malnehmen, um zu (x^k - a^k) zu kommen. Wenn nun a eine k-te Wurzel war, dann ist die jetzt weg. Bei a = 2^(1/3) + 1 betrachtest du also ((x - 1) - (2^(1/3)) und multiplizierst es mit einem geeigneten Polynom der Form ((x - 1)^2 + ... + 2^(2/3)), um auf das Produkt (x - 1)^3 - 2^(3/3) zu kommen. Alternativ kannst du auch allgemeiner feststellen: Wenn p(x) das Minimalpolynom von a ist, dann ist q(x) := p(x-m) das Minimalpolynom von a+m, für jedes Element m des Grundkörpers (hier Q). Wenn du a in p(x) einsetzt und 0 erhältst, weißt du erstmal nur, dass a eine Nullstelle von p ist - das ist ein notwendiges Kriterium, aber es ist nicht hinreichend dafür, dass p das Minimalpolynom ist. Die Irreduzibilität des Polynoms p zeigst du, indem du nachweist, dass es keine nichttrivialen Teiler hat. Da p den Grad 4 hat, können nichttriviale Teiler nur die Grade 1, 2 oder 3 haben. Ein Teiler vom Grad 1 hätte eine Nullstelle in Q - du musst also nachweisen, dass p keine rationalen Nullstellen hat. Dieser Nachweis ist recht einfach mit dem Gauss-Kriterium (alle rationalen Nullstellen sind ganzzahlig und Teiler des Absolutgliedes). Schwieriger ist der Nachweis, dass p keine quadratischen Teiler hat. Um das nachzuweisen, kannst du folgendes tun: (Das ist der umständliche, direkte Weg.) Du nimmst an, p = (x^2 + a1 x + a0)*(x^2 + b1 x + b0), mit rationalen Zahlen a1, a0, b1, b0. Dann weißt du (nach einem Kriterium, dass dem Gauss-Kriterium verwandt ist), dass a1, a0, b1, b0 ganzzahlig sein müssen (wenn du das nicht weißt, wirds etwas umständlicher). Du multiplizierst die Gleichung aus und machst einen Koeffizientenvergleich. Damit solltest du irgendwann feststellen, dass die entstehenden Gleichungen nicht gleichzeitig lösbar sind. Der elegantere, indirekte Weg, ist folgender: Der Körper Q(sqrt(2) + sqrt(7)) enthält Q(sqrt(2)) und Q(sqrt(7)) als Teilkörper, die voneinander verschieden sind, und ist selbst ein Unterkörper von Q(sqrt(2), sqrt(7)) (stimmt sogar mit diesem überein). Also hat Q(sqrt(2) + sqrt(7)) den Erweiterungsgrad 4 über Q - das ist auch der Grad des Minimalpolynoms von sqrt(2) + sqrt(7). Robot |
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| 27.11.2005, 21:00 | mstudent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, Robot! also bei x = dritte sqrt(2) + 1 habe ich folgendes gemacht, ich denk das ist einfacher: x = dritte sqrt(2) + 1 folgt x - 1 = dritte sqrt(2) folgt (x - 1)^3 = 2 folgt (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 2 also Min.Pol. ist p(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 3. ich glaube das geht auch, oder? |
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| 28.11.2005, 19:43 | IchDerRobot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist richtig und in diesem Fall einfacher. |
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