Bweise: Jede zyklische Gruppe ist kommutativ!

24.11.2005, 15:23

Markus83Muc

Bweise: Jede zyklische Gruppe ist kommutativ!

Kämpfe grade mit dem Bewis, das jede Zyklische Gruppe kommutativ ist. Es ist mir klar das es so sein muss, aber richtig beweisen kann ich es nicht.Leider reicht unserem Prof auch nicht das ich sage jede Zyklische Gruppe ist eine Abelsche Gruppe und diese ist als kommutativ definiert.
Kann ich über die Definition der Trägermenge herangehen? Das ich damit arbeite dass: $\begin{eqnarray*} G= \{ b^i|i \in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

24.11.2005, 15:30

Mazze

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Zitat:

Leider reicht unserem Prof auch nicht das ich sage jede Zyklische Gruppe ist eine Abelsche Gruppe und diese ist als kommutativ definiert

Das waere so als wurde ich die Kommutativität jetzt als aewdafd definieren und sage die Gruppe ist aewdafd also Kommutativ. Abelsch ist nur ein anderes Wort für Kommutativ.

fuer zyklische Gruppen gilt ja das es nur einen erzeuger gibt. Also lässt sich jedes Element der Gruppe wie folgt schreiben sei

$\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$

der erzeuger dann gibt es für jedes b aus G eine Potenz K von a so das gilt

$\begin{eqnarray*} b = a^k \end{eqnarray*}$

du willst haben das für alle ab gilt

$\begin{eqnarray*} a \cdot b = b \cdot a \end{eqnarray*}$

dann überleg mal wie du das a und das b schreiben kannst und schon steht die Kommutativität da.

24.11.2005, 15:36

Markus83Muc

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Danke hab es grade auch gemerkt
$\begin{eqnarray*} g^n*g^m=g^{n+m}=g^m*g^n \end{eqnarray*}$

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