Verständnisfragen zur Funktionentheorie

26.04.2008, 11:38

zwergnase

Verständnisfragen zur Funktionentheorie

1. "Stereographische Projektion"

Welcher geometrischen Operation auf der Riemannschen Zahlenkugel entspricht die Abbildung $\begin{eqnarray*} z \rightarrow \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ ? Ich dachte mir, wenn ich mich auf der Komplexen Ebene sehr weit vom Ursprung entfernen (also $\begin{eqnarray*} z \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ ) geht mein Projektionspunkt zum Nordpol. Aber wie kann man sich das im allgemeinen vorstellen?

2. "Komplexe Funktion"

Ich habe ein Polynom mit reellen Koeffizienten und möchte zeigen, dass zu jeder Nullstelle m Ordnung auch ihr konjungiertes eines Nullstelle m Ordnung ist.

Also, wegen dem "Fundamentalsatz der Algebra" ist die Aussage richtig. Aber den kann ich noch nicht verwenden. Aunschaulich ist mir das auch klar aber wie zeige ich das konkret?

Es muss gelten
$\begin{eqnarray*} \overline{p(z)} = \overline{\sum a_k (z - c)} = a_k (\overline{z} - \overline{c_1}) + ... \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} p(z) =\sum a_k (z - c) = a_k (z - c_1) + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie fehlt mir doch noch das entscheidende Argument....

26.04.2008, 11:52

therisen

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Hallo,

ad 1) $\begin{eqnarray*} z\mapsto\frac1z \end{eqnarray*}$ ist die Inversion. Mit Ausnahme der Koordinatenachsen werden Geraden in Kreise überführt.

ad 2) $\begin{eqnarray*} p(\overline z)=\overline{p(z)} \end{eqnarray*}$ sollte weiter helfen.

Gruß, therisen

27.04.2008, 15:34

zwergnase

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Zitat:

ad 1) ist die Inversion. Mit Ausnahme der Koordinatenachsen werden Geraden in Kreise überführt.

Wenn du es so sagst leuchtet es mir ein. Aber darauf wäre ich, nur mit probieren, nicht gekommen. Wie kann man sich das veranschaulichen ohne ein CAS zubemühen?

Zitat:

ad 2) sollte weiter helfen.

Also kann man schreiben $\begin{eqnarray*} f(c) = 0 \Leftrightarrow \overline{f(c)} = f(\overline{c}) = \overline{0} \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} \overline{\overline{c}} = c \end{eqnarray*}$ folgt die Behauptung?!?

27.04.2008, 16:29

system-agent

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Zu 1)

Schau zum Beispiel mal nach Gebrochen-Lineare Funktion, zb hier.
Eine solche führt immer Kreise in Kreise über, wobei eine Gerade eben ein Kreis durch unendlich ist.

27.04.2008, 16:50

Leopold

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Ich fasse die Aufgabe ganz anders auf. Ich denke, daß hier die Einpunktkompaktifizierung $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}_{\infty} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ nicht mit der Riemannschen Zahlenkugel $\begin{eqnarray*} S^2 \end{eqnarray*}$ topologisch identifiziert, sondern die Kehrwertabbildung direkt auf $\begin{eqnarray*} S^2 \end{eqnarray*}$ als Objekt des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ studiert werden soll. Es geht also um eine echt geometrische Interpretation.

Es sei $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die stereographische Projektion. Liegt also die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i}y \end{eqnarray*}$ in kartesischen Koordinaten vor, so ist ihr Bild unter $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ der Punkt $\begin{eqnarray*} (u,v,w) \in S^2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} u = \frac{2x}{x^2 + y^2 + 1} = \frac{z + \bar{z}}{z \bar{z} + 1} \, , \ \ v = \frac{2y}{x^2 + y^2 + 1} = - \operatorname{i} \frac{z - \bar{z}}{z \bar{z} + 1} \, , \ \ w = \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + y^2 + 1} = \frac{z \bar{z} - 1}{z \bar{z} + 1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt sollst du sozusagen im folgenden Diagramm die rote Abbildung geometrisch beschreiben.

[attach]8060[/attach]

27.04.2008, 19:42

trauriger-igel

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Ich habe es nach der Vorstellung von Leopold versucht mir zu veranschaulichen. Ich habe allgemein nachgerechnet ob $\begin{eqnarray*} z \rightarrow \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ auch auf den Rand der Einheitskugel abgebildet wird.

Zitat:

Und jetzt sollst du sozusagen im folgenden Diagramm die rote Abbildung geometrisch beschreiben.

Genau. Und für einzelne Punkte kann ich man das auch immer nachrechenen, aber auf eine allgemeine Aussage wie

Zitat:

ad 1) ist die Inversion. Mit Ausnahme der Koordinatenachsen werden Geraden in Kreise überführt.

bin ich mit dieser Methode nicht gekommen.

27.04.2008, 23:08

Leopold

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Die Veranschaulichung der komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene ist ja nur eine von vielen möglichen, allerdings die gängigste. Ebenso kann man sich die komplexen Zahlen aber als Punkte der im Nordpol $\begin{eqnarray*} N = (0,0,1) \end{eqnarray*}$ gelochten Riemannschen Zahlenkugel vorstellen (identifiziere $\begin{eqnarray*} \sigma(z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z) \end{eqnarray*}$ . Wenn ich richtig gerechnet habe, so ist die gesuchte rote Abbildung einfach

$\begin{eqnarray*} S^2 \to S^2 \, , \ \ (u,v,w) \mapsto (u,-v,-w) \end{eqnarray*}$

Dabei interpretiert man $\begin{eqnarray*} \sigma(\infty) = N \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} = \infty \end{eqnarray*}$ .
Auf den Punkten der Riemannschen Zahlenkugel wirkt also die Abbildung $\begin{eqnarray*} z \mapsto \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ wie die Spiegelung an der $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Achse.
Der Zusammenhang mit den Möbiustransformationen ist für die hier zu lösende Aufgabe nicht wichtig. Man muß das nur gerade durchrechnen und $\begin{eqnarray*} \sigma(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \left( \frac{1}{z} \right) \end{eqnarray*}$ miteinander vergleichen. Dann sieht man die Vorzeichenänderungen in der zweiten und dritten Koordinate. Am effektivsten geht die Rechnung, wenn man in $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{z} \end{eqnarray*}$ rechnet, weil ja die Kehrwertabbildung sich in diesen Größen leicht beschreiben läßt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} \end{eqnarray*}$

02.05.2008, 13:06

zwergnase

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{\mid z \mid^2 } \end{eqnarray*}$ ersetze, wie vereinfache ich dann diesen Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{z}+ \frac{1}{\overline{z}}}{1 + \mid \frac{\overline{z}}{\mid z \mid^2} \mid^2} = \frac{\frac{z + \overline{z}}{\mid z \mid^2 }}{1 + \mid \frac{\overline{z}}{\mid z \mid^2} \mid^2} \end{eqnarray*}$ um auf $\begin{eqnarray*} \dots = \frac{\overline{z} + z}{1+ \mid z \mid^2 } \end{eqnarray*}$ zu kommen?

Und ist $\begin{eqnarray*} \mid z \mid^2 = \mid \overline{z} \mid^2 \end{eqnarray*}$ ?

02.05.2008, 14:37

system-agent

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Zitat:

Original von zwergnase

Und ist $\begin{eqnarray*} \mid z \mid^2 = \mid \overline{z} \mid^2 \end{eqnarray*}$ ?

Ja, denn $\begin{eqnarray*} z=a+ib \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{z}=a-ib \end{eqnarray*}$ , haben also insbesondere den gleichen Betrag ( $\begin{eqnarray*} |x+iy|=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ )

03.05.2008, 14:08

zwergnase

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Danke, Leopold und system-agent für eure Hilfe und Mühe mit mir. Habe es nun verstanden!

Gruß

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