Jordan Normalform Problem

26.04.2008, 11:46

praunss

Jordan Normalform Problem

Hi, hab ein Problem bzgl der Jordan Normalform, eigentlich weiß ich wie es geht, aber mir stellen sich da immer wieder fragen, und ich find dafür keine lösung;

Habe ich z.B. die Matrix A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 0 \\-1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimme ich die Eigenwerte, in dem Fall nur 2; D.h. ich habe einen EW mit der algebraischen Vielfachheit 4, was bedeutet ich habe einen Jordanblock der Länge 4; so , jetzt bestimme ich dazu den Eigenraum und sehe, dass dieser die Dimension 3 hat,d.h. mein Block zerfällt in 3 Blöcke, richtig? Dann müsste die JNF so aussehen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis hier hin?

Und jetzt kommt das richtige Problem:
ich will die Matrix T zur Basistransformation finden; Dafür finde ich erstmal im Eigenraum zum EW 2 drei Eigenvektoren; so jetzt fehlt mir doch nurnoch einer; normalerweise würde ich (A-2 id)² ausrechnen usw, aber (A-2id) hat ja bereits die dim 3, und höher gehts nicht.
Also was mach ich jetzt?

pls help smile

26.04.2008, 12:47

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von praunss
Und jetzt kommt das richtige Problem:
ich will die Matrix T zur Basistransformation finden; Dafür finde ich erstmal im Eigenraum zum EW 2 drei Eigenvektoren; so jetzt fehlt mir doch nurnoch einer; normalerweise würde ich (A-2 id)² ausrechnen usw, aber (A-2id) hat ja bereits die dim 3, und höher gehts nicht.

Das macht so erstmal keinen Sinn, $\begin{eqnarray*} A-2\operatorname{id} \end{eqnarray*}$ ist kein Untervektorraum, sondern eine Abbildung. Du meinst sicher

$\begin{eqnarray*} \dim(\ker(A-2\operatorname{id}))=3 \end{eqnarray*}$ .

Und warum sollte es nun deiner Meinung nach nicht höher gehen? Natürlich geht es höher, es muss jetzt sogar

$\begin{eqnarray*} \dim\left(\ker\left((A-2\operatorname{id})^2\right)\right)=4 \end{eqnarray*}$

gelten.

26.04.2008, 13:06

praunss

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Ja sry, das mit dem kern hab ich vergessen;
aber das problem bleibt: wenn ich A-2id quadriere lande ich wieder bei A-2id

die Matrix bleibt genau diesselbe (habs mit mathematica überprüft), also ändert sich auch nciht die dimension des kerns

26.04.2008, 13:51

WebFritzi

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Zitat:

Original von praunss
wenn ich A-2id quadriere lande ich wieder bei A-2id

Wenn deine Matrix nur den Eigenwert 2 hat, kann das nicht sein. Das charakteristische Polynom ist dann

$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = (\lambda - 2)^4. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt mit dem Satz von Cayley-Hamilton: $\begin{eqnarray*} (A - 2)^4 = 0. \end{eqnarray*}$ Wenn $\begin{eqnarray*} (A - 2)^2 = A - 2 \end{eqnarray*}$ wäre, dann folgte aber

$\begin{eqnarray*} (A - 2)^4 = (A - 2)^2\,(A - 2)^2 = (A-2)(A-2) = (A - 2)^2 = A - 2 \neq 0, \end{eqnarray*}$

ein Widerspruch.

26.04.2008, 17:52

praunss

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ahh,hab den Fehler schon,
ich habe Quadriert, als ich bereits den Eigenraum bestimmt hab...
aber die andern schlussfolgerungen waren richtig oder?

26.04.2008, 18:39

praunss

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Und direkt noch ne Frage:

Hab zawr den Fehler gefunden , aber an einer stelle komm ich dann trotzdem nicht weiter:

das quadrieren führt sofort zu 0 ; d.h. das ist bereits der hauptraum.
in diesem hauptraum finde ich aber nur einen vektor mit dem ich ne kettenbasis bilden kann und das ist der e4. Mit dem kan ich aber auch keine kettenbasis bilden, sondern nur einen zweiten vektor
so , jetzt fehlen mir aber noch zwei ?
und wie soll ich die erzeugen, ich hab ja nix mehr übrig?

kann mir da bitte jemand helfen, is bestimmt einfach für euch, aber wär echt wichtig!

26.04.2008, 21:25

Mathespezialschüler

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Was ist denn eine Kettenbasis? Was ist dieser zweiter Vektor? Wahrscheinlich hast du sogar alles richtig gemacht und es nur falsch interpretiert. Deine Erklärung verstehe ich jedenfalls nicht. Ich hätte es so gemacht:

Man bestimmt einen Vektor, der in $\begin{eqnarray*} \ker\left((A-2\operatorname{id})^2\right) \end{eqnarray*}$ liegt, aber nicht in $\begin{eqnarray*} \ker(A-2\operatorname{id}) \end{eqnarray*}$ . Das ist in diesem Fall sehr einfach: Da du den Eigenraum $\begin{eqnarray*} \ker(A-2\operatorname{id}) \end{eqnarray*}$ bereits kennst, musst du nur einen Vektor $\begin{eqnarray*} v_2\neq 0 \end{eqnarray*}$ finden, der dort nich drin liegt.

Nun ergänzt du den Vektor $\begin{eqnarray*} v_1:=(A-2\operatorname{id})(v_2) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} v_3,v_4 \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} \ker(A-2\operatorname{id}) \end{eqnarray*}$ . Bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B:=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} \end{eqnarray*}$ ist dann die Darstellungsmatrix der Abbildung in der von dir angegebenen Jordanschen Normalform.

27.04.2008, 11:05

praunss

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@mathespezialschüler:
und da ist jetzt mein problem: was ist hier dein $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ und was ist dein $\begin{eqnarray*} v_4 \end{eqnarray*}$ ?
welche vektoren darf ich da verwenden ?
und noch eine Frage zum besseren verständnis: wenn du einen vektor suchst, der in (A-2id)² ist aber nicht in (A-2id) , und der nicht 0 ist, muss der linear unabhängig sein zu den vektoren im kern von (A-2id) ? Schon oder?

danke schonmal für die hilfe! Freude

27.04.2008, 16:59

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_4 \end{eqnarray*}$ sind dir noch nicht bekannte Vektoren. Eine linear unabhängige Menge zu einer Basis zu ergänzen sollte dir schon bekannt vorkommen. Aber von mir aus kannst du es auch so machen:
Seien $\begin{eqnarray*} w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray*}$ die Vektoren, die deine Basis des Kerns von $\begin{eqnarray*} A-2\operatorname{id} \end{eqnarray*}$ bilden. Dann kannst du den von mir genannten Vektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination dieser drei Vektoren darstellen:

$\begin{eqnarray*} v_1=\lambda_1w_1+\lambda_2w_2+\lambda_3w_3 \end{eqnarray*}$ .

Mindestens einer der drei Skalare $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ ist ungleich Null. Ist z.B. $\begin{eqnarray*} \lambda_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ , so kannst du als Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ die oben genannte mit $\begin{eqnarray*} v_3=w_2,v_4=w_3 \end{eqnarray*}$ nehmen.

Zitat:

Original von praunss
und noch eine Frage zum besseren verständnis: wenn du einen vektor suchst, der in (A-2id)² ist aber nicht in (A-2id) , und der nicht 0 ist, muss der linear unabhängig sein zu den vektoren im kern von (A-2id) ?

Deine Frage ist zwar nicht wirklich eindeutig oder korrekt gestellt, aber ich glaube doch, richtig zu vermuten, was du meinst. Insofern: Ja, das muss er. Darauf musst du allerdings nicht achten, denn das ist er automatisch.

27.04.2008, 19:00

praunss

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danke

das hat doch mal geholfen; es war mir nur nicht klar, wie das mit der basisergänzung genau funktionieren sollte, kleine bildungslücke Augenzwinkern

winzige abschlussfrage:
in der JNF sollte doch der größte Block oben stehen, also in dem Fall oben links die 1 sein aus der Nebendiagonale, so wie ichs oben gezeigt habe,oder?

wenn ichs nämlich ausrechne , is die 1 unten rechts, also der größte block unten
nach der Frage wars das wirklich smile

27.04.2008, 19:31

Mathespezialschüler

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Also wo der Block ist, ist ja relativ egal. "Die" JNF ist ja nicht eindeutig bestimmt, man kann die Blöcke ja beliebig vertauschen (es sei denn, man definiert sich "die" JNF).

Dass du aber mit der Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kommst, kann eigentlich nicht sein. Da würde ich gerne mal sehen, wie du das geschafft hast!

01.05.2008, 16:51

praunss

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sry, dass ich lange nicht geantwortet habe, ahtte einfach keine zeit

jetzt hab ich aber das ganze nochmal gerechent und ich komm immer und immer auf dieselbe matrix, von der du wissen wolltest wie ich das geschafft habe.

meine transformationsmatrix ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und ich hab einfach nur folgendes gemacht:
1.Eigenraum von 2 bestimmt --> ich hatte 3 vektoren: v1,v2,v3

2.Hab (A-2)² bestimmt was die Nullmatrix ist

3. Hab einen vektor gesucht der in Ker(A-2)² ist aber nicht in Ker(A-2) --> e1 = v4

4. hab (A-2) * v4 ausgerechnet --> v5

5. Hab mir aus dem Eigenraum von 1. die 2 Vektoren dazugenommen die lin.unabh. sind --> v1,v2

6. v1,v2,v4,v5 sind meine Basis die dann die Transformationenmatrix bilden

Was muss ich anders machen?

01.05.2008, 17:10

WebFritzi

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Das ist so schon in Ordnung. Allerdings musst du v4 und v5 in der Reihenfolge der Basis umdrehen, um die gewünschte JNF zu erhalten.

01.05.2008, 18:21

praunss

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Was meinst du genau mit der Reihenfolge der Basis?

01.05.2008, 20:36

WebFritzi

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Na, bilde doch mal die Darstellungsmatrizen bezüglich einerseits der Basis v1,v2,v4,v5 und andererseits bzgl. v1,v2,v5,v4.