Kreisgleichungsbestimmung mittels 3 Punkten in der Ebene

26.04.2008, 12:01

Mikadobrain

Kreisgleichungsbestimmung mittels 3 Punkten in der Ebene

Hallo.

Ich habe folgende Aufgabe (aus "Lineare Algebra" von Howard Anton):

Drei Punkte in der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen einen eineutig festgelegten Kreis. Ein Kreis in der xy-Ebene wird durch eine Gleichung der Form ax^2 + ay^2 + bx + cy + d = 0 beschrieben. Man bestimme die Gleichung für den Kreis, der durch die Punkte p1(-4/5), p2(-2/7) und p3(4/-3) bestimmt wird.

(Aufgabe 26 auf S. 26 für diejenigen, die das Buch vllt. haben)

Ich habe mir folgenden Lösungsweg überlegt:

Ich bestimme einen weitern Punkt auf der Kreislinie. Ich setze die Koordinaten aller nunmehr 4 Punkte in die o.g. Gleichung ein und erhalte so ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 unbekannten, das nicht triviale Lösungen haben müsste.
Ich löse das System und setze die Werte für a,b,c,d in die Ausgangsgleichung ein.
Fertig.

Ich hoffe, das ist soweit der richtige Weg, falls nicht: bitte nicht weiterlesen sondern mich direkt drauf hinweisen Augenzwinkern

.

Um den vierten Punkt auf der Kreislinie zu erhalten, möchte ich den Kreismittelpunkt bestimmen, indem ich zwei Sehnen durch p1 und p2 sowie p1 und p3 ziehe und den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten berechne.
Ich habe bereits mit hilfe der Ortsvektoren der Punkte die Mittelpunkte der Sehnen bestimmt und die Gleichungen der Geraden, die die Sehnen beschreiben errechnet.

Allerdings sind mir gerade Zweifel an der Richtigkeit dieses Lösungsweges gekommen, weil die Gleichung der Geraden durch p1 und p2 sehr krumme Parameter hat.

Meine Frage:
Kann man den Weg, den ich beschrieben habe gehen und gibt es einen einfacheren Weg, den ich nicht gesehen habe?

Vielen Dank,
Michi

26.04.2008, 12:13

Bjoern1982

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Du musst nur bedenken dass der Mittelpunkt ja dann kein Punkt des Kreises (Kreisbogens) ist und somit die obige Gleichung nicht erfüllen wird.
Dein Weg ist aber trotzdem elegant weil du den Mittelpunkt (m | n) dann in die allgemeine Kreisgleichung (x-m)²+(y-n)²=r² einsetzen könntest.
Der Radius r des Kreis ist ja dann einfach die Entfernung von M und einer der Punkte, die auf dem Kreisbogen liegen.

Du kannst ja mal deine Rechnung posten, dann könnte man sehen ob du dich verrechnet hast oder nicht smile

Gruß Björn

26.04.2008, 12:46

Mikadobrain

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RE: Kreisgleichungsbestimmung mittels 3 Punkten in der Ebene
Schön, freut mich dass ich wenigstens eine nette Lösungsidee hatte. Wie ich den 4. Punkt auf der Kreislinie finden wollte habe ich vergessen zu schreiben, du hast es ja schon ergänzt.
Hier also mal meine Rechnung bisher (dieser Latexkram ist vielleicht umständlich...):

P1=(-4/5)
P2=(-2/7)
P3=(4/-3)

Berechnung des Mittelpunkts M1 der Sehne P1P2:

$\begin{eqnarray*} \vec{p1} + \frac{\vec{p2} - \vec{p1}}{2} = M1 \end{eqnarray*}$

M1=(-3/6)

Analog Mittelpunkt M2 der Sehne P1P3:

$\begin{eqnarray*} \vec{p1} + \frac{\vec{-p} + \vec{p3}}{2} = M2 \end{eqnarray*}$

M2=(0/1)

___

Berechnung der Gleichung der Geraden durch P1 und P3:

Einsetzen von P1 und P3 in die allg. Geradengleichung liefert:

$\begin{eqnarray*} 5 = -4a+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3 = 4a+b \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} a = \frac{b-5}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = -3-4a \end{eqnarray*}$

Gegenseitiges Einsetzen von a und b liefert:

$\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$

darauf folgt die Glechung der Geraden g1:

$\begin{eqnarray*} y=-1x +1 \end{eqnarray*}$

Das stimmt soweit auch mit der Skizze im Buch überein und sieht ästhetisch aus

___

Berechnung der Geraden durch P1 und P2

Einsetzen von P1 und P2 in die allg. Geradengleichung liefert:

$\begin{eqnarray*} 5=-4a+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7=-2a+b \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} a=-\frac{7-b}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=4a+5 \end{eqnarray*}$

Gegenseitiges Einsetzen liefert:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{36}{125} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{18} \end{eqnarray*}$

Und an dieser Stelle fühle ich mich unwohl, weil die Gleichung nicht schön aussieht und ausserdem die Gerade um Faktor 1 steigen müsste, oder?

26.04.2008, 12:58

Bjoern1982

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Zitat:

Berechnung der Geraden durch P1 und P2

Einsetzen von P1 und P2 in die allg. Geradengleichung liefert:

$\begin{eqnarray*} 5=-4a+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7=-2a+b \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} a=-\frac{7-b}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=4a+5 \end{eqnarray*}$

Gegenseitiges Einsetzen liefert:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{36}{125} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{18} \end{eqnarray*}$

Du hast hier am Ende wohl einfach falsch eingesetzt, für a sollte 1 rauskommen.

26.04.2008, 13:07

Mikadobrain

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Tatsächlich! Wie konnte ich nur....

Dankeschön, von hier an sollte es vorerst glatt laufen smile

Michael

26.04.2008, 13:17

Bjoern1982

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Viel Erfolg smile

26.04.2008, 13:37

suziheizer32

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Hallo

Es geht in dieser Aufgabe eher darum die Loesungsmatrix der Gleichungen aufzustellen denke ich, aufgrund des vorher vermittelten Stoffes. (hab das Buch)

du kannst 3 Gleichungen aufstellen bzueglich der Punkte welche wahr sind.

$\begin{eqnarray*} a*4+a*49-b*2+7*c+d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 41*a - 4*b + 5*c + d = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 25*a + 4*b - 3*c + d = 0 \end{eqnarray*}$

daraus folgt die Matrix des Gleichungssystems

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -53 & -2 & 7 & -d \\ 41 & -4 & 5 & -d \\ 25 & 4 & -3 & -d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und in Reduzierter Zeilenstufenform.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{-d}{29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2d}{29}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{4d}{29} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn du nun die Loesung in die Kreisgleichung einsetzt und die Gesamte Gleichung durch $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ teilst

erhaelst du

$\begin{eqnarray*} - 1/29*x^2 + 2/29*x - 1/29*y^2 + 4/29*y + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

26.04.2008, 13:48

Mikadobrain

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Äh, ja. Genau.

Mein Fehler war der, dass ich gedacht habe, ein lineares Gleichungssystem mit mehr Unbekannten als Gleichungen hätte nur die triviale Lösung.
Fragt mich nicht warum, ich weiß es selbst nicht.

Wie auch immer, jetzt hab ich wenigstens eine lehrreiche Rechnung hinter mir und zwei statt einem Lösungsweg Big Laugh

Übrigens, da du das Buch ja selbst hast:
Kann es sein, dass in den Übungen sehr viele Fehler stecken? Ich habe oft Ergebnisse, die nicht in der Lösung stehen und bin mir ziemlich sicher dass ich richtig liege...

26.04.2008, 14:03

suziheizer32

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RE: Kreisgleichungsbestimmung mittels 3 Punkten in der Ebene
Ich habe das Buch, aber habe es nur teilweise bearbeitet.

Ich nutze es eher als Nachschlagewerk, da ich nicht die komplette Lineare Alg. brauche.

ist mir aber sonst noch nichts aufgefallen

26.04.2008, 14:35

Bjoern1982

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Zitat:

Mein Fehler war der, dass ich gedacht habe, ein lineares Gleichungssystem mit mehr Unbekannten als Gleichungen hätte nur die triviale Lösung.

Nein, eher unendlich viele Lösungen, denn da man eine Gleichung zu wenig hat, kann man alle Unbekannten in Abhängigkeit einer dieser Unbekannten ausdrücken (hier werden a,b und c durch d ausgedrückt).

Wenn du nun einen Funktionsterm hättest bestimmen sollen, dann hättest du für eine eindeutige Lösung noch einen weiteren Punkt gebraucht. Denn einen Funktionsterm am Ende durch eine Variable zu divideren ändert nichts an der Tatsache, dass damit immer noch eine Unbekannte verbleibt (Ausklammern)

Entscheidend ist, dass es sich hier um eine KreisGLEICHUNG handelt und eben auf der rechten Seite eine null steht. Somit fällt durch Division tatsächlich die letzte Variable weg und man erhält eine eindeutige Lösung.

Das nur mal so als Begründung smile

Edit:

Achja und der Vollständigkeit halber müsste man eigentlich auch noch einen Kommentar zur Division durch d (oder welcher Variablen auch immer) loslassen, denn dafür muss man ja d ungleich null voraussetzen...

Gruß Björn

26.04.2008, 14:42

WebFritzi

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Man kann auch wie folgt das Problem lösen:

1. Man setzt alle Punkte in die allgemeine Kreisgleichung ein (mit noch zu suchendem Mittelpunkt m und Radius r). Man erhält so drei Gleichungen mit quadratischen Termen.

2. Subtrahiert man je zwei dieser Gleichungen, kommt man auf ein lineares Gleichungssystem mit den Koordinaten von m als Unbekannte.

3. Man löst das LGS aus 2. und hat damit den Mittelpunkt.

4. Den Radius erhält man einfach dadurch, dass man den Abstand eines der gegebenen Punkte zum gefundenen Mittelpunkt berechnet.

05.11.2009, 16:33

tunefish

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Hi, sorry, dass ich das alte Ding hier wieder ausgrabe, aber ich mache zufällig die selbe Aufgabe.

Ich kann die einzelnen Lösungsschritte zwar nochvollziehen, aber nicht wie du in der Matrix auf -53 kommst.

Zitat:

Original von suziheizer32

daraus folgt die Matrix des Gleichungssystems

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -53 & -2 & 7 & -d \\ 41 & -4 & 5 & -d \\ 25 & 4 & -3 & -d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Punkt (-2|7) eräbe in die Kreisgleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} a * (-2)² + a * 7² - 2b + 7c + d = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4a + 49a - 2b + 7c = -d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 53a - 2b +7c = -d \end{eqnarray*}$

Die Matrix wäre also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 53 & -2 & 7 & -d \\ 41 & -4 & 5 & -d \\ 25 & 4 & -3 & -d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Deine Lösungen stimmen aber, ergo ist -53 richtig. Ich verstehe nur einfach nicht warum.

Vielen Dank schonmal!

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