Annäherung beliebiger Funktionen durch ganzrationale Funktionen

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yeahyeahyeah Auf diesen Beitrag antworten »
Annäherung beliebiger Funktionen durch ganzrationale Funktionen
moin moin,

ich beschäftige mich gerade mit einer GFS (gleichwertige Feststellung von Schülerleistungen =Referat, das wie eine Klausur zählt), die ich unbedingt erfolgreich bewältigen sollte um meine Mathenote zu verbessern (ich bin ein ziemlicher loser in Mathe :hammersmile

Mein Lehrer hat mir folgende Aufgabe gestellt: Lehrer

http://www.imgimg.de/uploads/GFScb932ed3JPG.jpg


Der erste Teil ist die Annäherung an die e-Fkt.

der erste Schritt wäre also:

f(x)= 1


der zweite Schritt müsste dann eine Funktion der Form f(x)= ax+b sein?
also f(x)= x+1 ?


der dritte Schritt wäre dann eine Funktion f(x)= ax^2+bx+c
also f(x)= 0,5x^2+x+1 ?

usw...Stimmt das soweit? wie lang soll ich das fortführen?^^


Nun muss ich also die mittlere betragsmäßige Abweichung berechnen. Das heißt doch, dass ich für jede Funktion, die ich gefunden habe, integrieren soll und zwar im betrag, sodass sich die abweichungen nicht voneinander abziehen. Wieso für 2 Intervalle? und was heißt mittlere Abweichung bzw. wie mach ich das? Muss ich da für beide Intervalle die Abweichungen zum Schluss addieren und durch ihre Anzahl teilen?^^

Ich hoffe der ein oder andere kann mir die Fragen beantworten. Danke ;D
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Also soweit hast du die Funktionen richtig bestimmt Freude

Wie weit du das noch machen sollst? Hmm mache das doch noch 2 oder 3 mal, vielleicht fällt dir dann auf wie das allgemein weitergehen wird.

Dann zur mittleren Abweichung. Der Grund, dass du das für 2 Intervalle machen sollst, ist wohl der Vergleich. Es ist ja klar, dass die mittlere Abweichung auf [-1,1] kleiner als [-2,2] ist. Aber der Unterschied wird wohl immer kleiner.

Du kannst mal hier vorbeischauen um zu sehen wie du das berechnen kannst: http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert#Der_Mittelwert_einer_Funktion

Du kannst ja mal versuchen diese Formel geometrisch zu begründen.
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nur als Anmerkung: Die Bahauptung auf dem Zettel ist hahnebüchener Blödsinn. Und auch die Anleitung ist Quatsch. Es fehlt die Angabe, dass die Funktion im n-ten Schritt ein Polynom (n-1)-ten Grades sein soll. Hau deinem Lehrer das Blatt um die Ohren.

Noch eine Anmerkung: Das ganze nennt man "Taylor-Approximation".
yeahyeahyeah Auf diesen Beitrag antworten »

...hab erst jetzt wieder zeit gefunden um weiter zu machen Hammer

danke schonmal für die tipps und hilfen
die annäherung an sich hab ich verstanden. Was meint ihr, soll ich da auch noch eine Näherungsfunktion für den n-ten schritt angeben (sofern das überhaupt geht, bin bisher nicht drauf gekommen :P )


Bei der mittleren betragsmäßigen Abweichung häng ich noch etwas fest...

ich hatte mir das folgendermaßen überlegt:

http://www.imgimg.de/bild_DSC01040973ca49cJPG.jpg.html

Ich berechne zu meinen Annäherungsfunktionen f0(x) bis f4(x) zunächst im Intervall -1 bis 1 die blau schraffierte Flächen.
Dann wiederhole ich das gleiche für das Intervall -2 bis 2.

wie mach ich das mit dem Mittelwert? mit formeln kann ich leider nicht so viel anfangen. ne erklärung in worten wäre gut :P

edit: steckt das mit dem mittelwert schon in dem integralrechnung? Big Laugh


Mögliche Schlussfolgerung:
-Annäherung wird immer besser, da blau schraffierte Fläche immer kleiner wird

was müsste ich da noch erwähnen?
yeahyeahyeah Auf diesen Beitrag antworten »

bin ich denn auf dem richtigen weg bei der betragsmäßigen abweichung?

sry...brauch das unbedingt bis nächste woche


bei der annäherung an f(x)= sin(x)

1. schritt: f0(x)= 0

2. schritt: f1(x)= x ?

3. schritt: f2(x)= x-(x^3/3)

4. schritt: f3(x)= x-(x^3/3)+(x^5/5)

5. schritt: f4(x)= x-(x^3/3)+(x^5/5)-(x^7/7)

http://de.wikipedia.org/wiki/MacLaurinsche_Reihe
so wird es ja auch hier beschrieben

http://upload.wikimedia.org/math/1/d/e/1dec3f7441cc71d8a801aea6577be4f1.png

was bedeutet eigentl. dieses ausrufezeichen?^^ und wieso steht da dann plötzlich 6 und 120 im nenner?


bei f(x)=cos(x) sind dann die zahlen 2,4,6,..?

danke für eure hilfe
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ausrufezeichen steht für Fakultät.

Beispiel:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von yeahyeahyeah
was bedeutet eigentl. dieses ausrufezeichen?^^ und wieso steht da dann plötzlich 6 und 120 im nenner?


Du bist offenbar Schüler in Baden-Württemberg, wahrscheinlich Klasse 12 oder 13. Dann hast du doch die 10. Klasse bestanden. Dort schreibt man eine zentrale Klassenarbeit. Die geht unter anderem über Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In dem Zusammenhang habt ihr sicher die Fakultät gehabt. Das kommt dann auch noch einmal in der 11. Klasse im Zusammenhang mit Binomialverteilungen dran. Und du tust so, als hättest du noch nie davon gehört ...

Ich staune ...
yeahyeahyeah Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich staune auch oft... Augenzwinkern

so bin bald fertig...vllt will ja mal jemand drüber schaun und hat noch verbesserungsvorschläge oder jemand entdeckt noch einen fehler Lehrer

http://www.doktus.de/dok/50932/taylor-approx.html

die überschriftn hats bissle verrissen...grade bei den fomreln bin ich mir nicht 100% sicher


so gute nacht Tanzen
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Mach das mal zu einem Gleichheitszeichen und schreibe in der letzten Formel cos(x) statt sin(x).
yeahyeahyeah Auf diesen Beitrag antworten »

danke habs geändert

http://rapidshare.com/files/113152559/An...er_fkt.doc.html

hier is das (fast) komplette werk zur freien verfügung Hammer

die werte der tabelle sind teilweise noch falsch, da ich bei jedem integral durch 2 geteilt habe böse
außerdem fehlt mir noch ein schaubild zum cosinus...wo find ich nen guten fkt-plotter der 5 fkt. zeichnen kann und bei dem ich das bild dann auch abspeichern kann?
yeahyeahyeah Auf diesen Beitrag antworten »

wäre dankbar wenn mal ein "fachmann/frau" drüber schaun könnte...muss das morgn präsentiern Augenzwinkern
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht ganz in Ordnung aus.
Bei der e-Funktion hast du ja die allgemeine Form der Taylorentwicklung hingeschrieben. Diese solltest du am besten in deinem Vortrag erklären und aufzeigen warum das die Approximation der Funktion an der Stelle 0 + die gleichen Ableitungen an 0 liefert.

Dann erklärst du in dem Dokument nie wie du auf die einzelnen Approximationen(bei dir "Schritt" genannt) kommst. Am besten wäre es wenn du allg. die Ableitung der Funktionen noch dazuschreibst um aufzuzeigen das die für das Vorzeichen in diesem Fall eine Rolle spielen und warum gerade bzw. ungerade Exponenten rausfallen
yeahyeahyeah Auf diesen Beitrag antworten »

hm also

1. es ist die approximation der funktion an der stelle 0, weil es die potenzreihenentwicklung der funktion an der stelle 0 darstellt.
kann man das so sagen? wieso hat funktion die funktion e^x eine potenzreihenentwicklung? weil es eine polynomfunktion ist. nur wie bwegründe ich jetzt diese tatsache?^^...ich hasse theoretische sachen

2. dass es auch die annäherung an die ableitungen liefert ergibt sich ja aus f(x)=f'(x)=...=e^x

sind meine gedankengänge bisher richtig? ;D


also ich habe das wegfallen der geraden bzw. ungeraden exponenten mit der unterschiedlichen symmetrie begründet
...kann mir jemand den zusammenhang mit den ableitungen kurz erklären? ich steh aufm schlauch....
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Du bist offenbar Schüler in Baden-Württemberg, wahrscheinlich Klasse 12 oder 13. Dann hast du doch die 10. Klasse bestanden. Dort schreibt man eine zentrale Klassenarbeit. Die geht unter anderem über Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In dem Zusammenhang habt ihr sicher die Fakultät gehabt. Das kommt dann auch noch einmal in der 11. Klasse im Zusammenhang mit Binomialverteilungen dran. Und du tust so, als hättest du noch nie davon gehört ...

Ich staune ...


Tut mir Leid, dich enttäuschen zu müssen Augenzwinkern
Nicht an jeder Schule wird W-keit-Rechnung so genau durchgenommen, oft bleibt es, wie bei uns, bei simplen LaPlace-Experimenten. Fakultät hatten wir daher jedenfalls auch nicht.
In 12 und 13 machen wir übrigens, wie auch in 11, gar keine Stochastik.

Jetzt darfst du staunen ... Augenzwinkern

air
yeahyeahyeah Auf diesen Beitrag antworten »

jap...und außerdem braucht mans ja auch kaum Big Laugh

könnte mir jemand noch auf die sprünge helfen bei meinen fragen? ich bin absolut kein mathe-ass...aber ich will da morgen nicht völlig dumm dastehn smile
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