Standardabweichung aus Teilmengen

24.11.2005, 17:10

mikedo

Standardabweichung aus Teilmengen

Hallo Mathe-Asse,
ich habe eine Frage zur Berechnung der Standardabweichung aus Teilmengen:

Aus einer Grundgesamtheit werden Teilmengen unterschiedlicher Größe gebildet. Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt die Grundgesamtheit. Von jeder dieser Teilmengen ist das Maximum, das Minimum, der Mittelwert und die Standardabweichung bekannt.
Ist es möglich aus diesen Werten die Standardabweichung der ursprünglichen Grundgesamtheit zu berechnen?

Für den Mittelwert habe ich eine Formel gefunden, für die Standardabweichung ist mir das nicht gelungen. verwirrt

Vielen Dank

24.11.2005, 18:07

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Die Größe der Teilmengen (d.h. ihre jeweilige Elementanzahl) ist nicht bekannt? Dann kriegst du auch den Mittelwert nicht raus! unglücklich

25.11.2005, 12:47

mikedo

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Die Größe der Teilmengen (d.h. ihre jeweilige Elementanzahl) ist nicht bekannt? Dann kriegst du auch den Mittelwert nicht raus! unglücklich

Hallo Arthur,

Du hast recht. Ich hatte vergessen mitzuteilen, daß die Anzahl der Element pro Teilmengen ebenfalls bekannt ist. Gott

Gruß

25.11.2005, 13:40

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Ok, ein paar Bezeichnungen:

$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ... Umfang der Gesamtstichprobe
$\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ... Anzahl an Teilstichproben
$\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ ... Umfang der Teilstichprobe $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{k,j} \end{eqnarray*}$ ... Element Nr. $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ Teilstichprobe $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} j=1,\ldots,n_k \end{eqnarray*}$

Bekannt sind: $\begin{eqnarray*} n_1,\ldots,n_k \end{eqnarray*}$ , und damit natürlich auch $\begin{eqnarray*} n = \sum_{k=1}^m ~ n_k \end{eqnarray*}$ , sowie

$\begin{eqnarray*} \bar{x}_k = \frac{1}{n_k} \sum_{j=1}^{n_k} ~ x_{k,j} \end{eqnarray*}$ ... Mittelwert der Teilstichprobe $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_k^2 = \frac{1}{n_k-1} \sum_{j=1}^{n_k} ~ \left( x_{k,j} - \bar{x}_k \right)^2 \end{eqnarray*}$ ... empirische Varianz der Teilstichprobe $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ,

aber nicht die einzelnen $\begin{eqnarray*} x_{k,j} \end{eqnarray*}$ .

Gesucht sind Mittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ und empirische Varianz $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ der Gesamtstichprobe.

In Formeln:

$\begin{eqnarray*} \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^m ~ \sum_{j=1}^{n_k} ~ x_{k,j} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^m ~ \sum_{j=1}^{n_k} ~ \left( x_{k,j} - \bar{x} \right)^2 \end{eqnarray*}$

Den ersten Teil hast du, der da lautet

Zitat:

Mittelwert: $\begin{eqnarray*} \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^m ~ n_k\cdot \bar{x}_k \end{eqnarray*}$

Und für den zweiten Teil beachte bitte die Alternativdarstellungen

$\begin{eqnarray*} s_k^2 = \frac{1}{n_k-1} \left[ \left( \sum_{j=1}^{n_k} ~ x_{k,j}^2 \right) - n_k \bar{x}_k^2 \right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s^2 = \frac{1}{n-1} \left[ \left( \sum_{k=1}^m ~ \sum_{j=1}^{n_k} ~ x_{k,j}^2 \right) - n \bar{x}^2 \right] \end{eqnarray*}$

da fällt dir dann vielleicht was ein...

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