Grenzwert einer Folge

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mabu Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge
Hi,

ich hab hier schon eine Menge zu dem Thema gelesen und trotzdem werde ich leider nicht ganz schlau aus der Sache. traurig
Ich suche den Grenzwert der Folge . Wie kann man am einfachsten zeigen das sie gegen 0 Konvergiert?

Die Folge lautet:



PLZ Hilfe

mfg mabu
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

hier würde ich dir das majorantenkriterium empfehlen, das bedeutet du bastelst dir eine nullfolge, für welche die konvergenz bedeutend einfacher zu zeigen ist, und welche immer größer als a_n ist.
wenn dann die konstruierte folge b_n gegen null geht, tut das auch deine folge a_n

gruß, system-agent
mabu Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es da Tricks die man anwenden kann um an eine solche Folge zu kommen?
Und muss ich für die neue Folge erst per Induktion beweisen das sie auch für alle n größer als ist?

gruß mabu
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

tricks gibts da keine, du kannst dir nur das leben mit komplizierten folgen schwermachen.
ich habs grad mal mit

versucht Augenzwinkern

nimm einfach mal diese, zeige, dass diese immer größer ist als deine und dann bestimme den grenzwert von b_n für n->oo

gruß, system-agent
mabu Auf diesen Beitrag antworten »

Wie zeige ich denn am einfachsten das für alle n aus N gilt?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

hab gerade bemerkt, dass ja auch

funktioniert. verwirrt

mit dem ist es wohl einfacher

gruß, system-agent
 
 
mabu Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Prinzip ist mir völlig klar.
Nur fällt mir der exakte Beweis extrem schwer. Wenn ich mir die Graphen anschaue ist es ja auch alles einleuchtend. Aber der Beweis per Induktion ist schon etwas stressig. Ich hab ihn mal durchgeführt für eine andere Folge die aber dass selbe Schema hat:

und
also geht gegen Null wenn für alle


IA: n=1

was offensichtlich wahr ist.


IV:

für ein

Was für n gilt soll nun auch für n+1 richtig sein. Also:




Wenn ich jetzt einfach zeigen kann das:



dann wäre alles super Prost
aber durch umformen erhalte ich:



Wenn jetzt der Term für alle n<1 wäre hätte ich den Beweis, aber leider ist das für n=1 nicht der Fall und somit ist glaub ich die ganze Induktion für die Katz gewesen traurig

Oder reicht es das das für n=2 richtig ist weil ich ja schon gezeigt habe das meine Behauptung für n=1 gilt? Und brat mir doch einer n Storch, muss ich nicht eigentlich Beweisen das kleiner 1 ist? Also per Induktion zb? Zunge

Lange Rede kurzer Sinn, gibts ne einfacherer und vor allem elegantere Möglichkeit?

mfg
mabu
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

vollständige induktion ist eine gute idee !!
ich wäre so vorgegangen:



--> ist zu beweisen.

ia: n=1: 1<4, stimmt
die potenz auf der rechten seite bedeutet, dass mit jedem n ein faktor 4 dazukommt, also wenn die ungleichung für k werte stimmt, zb für 1, 2, 3, dann stimmt sie auch für k+1-werte, da dabei lediglich eine vier dazukommt. damit kann ich sogar die 4 auf der linken seite gleichzeitig dazumultiplizieren, ohne dass sich der wahrheitsgehalt ändert...

also ist immer kleiner als .

gruß, system-agent
mabu Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
erstmal sorry für meine späte Antwort. Deinen Umformungen kann ich auch noch folgen. Aber bei der Induktion komme ich leider nicht mit.
Könnte aber auch daran liegen das ich nach "oben Beschränkt" bin Rock

Aber im Prinzip weiß ich worauf du hinaus willst. Danke für deine Antworten.

mfg
mabu
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