Briefe und Umschläge

26.04.2008, 15:18

Olivia123

Briefe und Umschläge

Hallo,
ich sitze gerade vor einer Aufgabe und komme nicht recht weit:

Auf Bobs Schreibtisch liegen 10 Briefe $\begin{eqnarray*} B_1,B_2,...,B_10 \end{eqnarray*}$ und auch die 10 entsprechenden Umschläge $\begin{eqnarray*} U_1,U_2,...,U_10 \end{eqnarray*}$ . Jetzt steckt Bob jeden Brief zufällig in einen Umschlag (genau einen Brief in jeden Umschlag). Sei A das Ereignis, dass mindestens ein Brief im richtigen Umschlag steckt.
Modelliere einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. Gebe das Ereignis A mengentheoretisch an und berechne dessen Wahrscheinlichkeit.

Der W-raum ist ja, (omega, A, P) mit A=P(omega) und omega={ $\begin{eqnarray*} B_1,B_2,...,B_10 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} U_1,U_2,...,U_10 \end{eqnarray*}$ }.

So das Ereignis A kann ich nicht mengentheoretisch hinschreiben, weil ich nicht weiß wie man es darstellt, wenn genau ein Brief in jeden Umschlag gesteckt wird.

$\begin{eqnarray*} P(A)= 1-Komplement(A) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 1-(\frac{10}{9}+ \frac{9}{8} +...+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Stimmt es Ansatzweise und wie schreibt man das alles mathematisch hin??
Danke schonmal

26.04.2008, 15:40

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Hast du mal ausgerechnet, was da bei dir herauskommt??? Eine NEGATIVE Wahrscheinlichkeit! Finger1

------------------------

Alle Jahre wieder, die Briefumschläge ... Es geht um Fixpunkte von Permutationen.

Wenn du danach hier in Forum suchst, wirst du einige Treffer landen, z.B. hier.

26.04.2008, 15:57

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(falscher Thread - bitte löschen)

27.04.2008, 11:48

Olivia123

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Hi,
also ich hatte mich nur verschrieben. Hätten eigentlich alles Multiplikationen sein sollen. Hammer

War aber nach der Formel ja auch falsch.
Ich habe mal das mit der Einschluss Ausschluss Formel mal probiert, aber irgendwie stelle ich mich nicht so geschickt an. Diesese $\begin{eqnarray*} n!/k! \end{eqnarray*}$ vor der Summe macht mir Probleme! Heißt es in meinem Fall $\begin{eqnarray*} 10!/1! \end{eqnarray*}$ ??? Aber dann kommt nur Mist raus. Zwar keine negative Wahrscheinlichkeit aber eine die größer 1 ist Augenzwinkern

!
Ich habe es jetzt mal damit versucht:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{10}~ (-1)^{k-n}{{k-1} \choose {n-1}}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
In meinem Fall würde es jetzt so heißen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{10}~ (-1)^{k-1}{{k-1} \choose {1-1}}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1!}- \frac{1}{2!} +\frac{1}{3!}-... +\frac{1}{9!} =0,632 \end{eqnarray*}$

Aber ich denk es stimmt wieder nicht, weil die Wahrscheinlichkeit nicht so groß sein kann!
Danke schonmal für die Antwort, aber net wieder auslachen Big Laugh

27.04.2008, 11:54

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Zitat:

Original von Olivia123
Diesese $\begin{eqnarray*} n!/k! \end{eqnarray*}$ vor der Summe macht mir Probleme! Heißt es in meinem Fall $\begin{eqnarray*} 10!/1! \end{eqnarray*}$ ??? Aber dann kommt nur Mist raus. Zwar keine negative Wahrscheinlichkeit aber eine die größer 1 ist Augenzwinkern

In der von mir verlinkten Formel ging es erstmal um Anzahlen, nicht um Wahrscheinlichkeiten! Hast du das berücksichtigt? Wahrscheinlich nicht.

Zitat:

Original von Olivia123
In meinem Fall würde es jetzt so heißen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{10}~ (-1)^{k-1}{{k-1} \choose {1-1}}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1!}- \frac{1}{2!} +\frac{1}{3!}-... +\frac{1}{9!} =0,632 \end{eqnarray*}$

Aber ich denk es stimmt wieder nicht, weil die Wahrscheinlichkeit nicht so groß sein kann!

Wieso nicht? Wenn du noch das vergessene, zugegeben sehr kleine $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{10!} \end{eqnarray*}$ anfügst, ist das genau die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen richtig vertüteten Brief.

27.04.2008, 12:09

Olivia123

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Dankeschön!!!
Hast recht und der Weg mit der Formel stimmt also dann auch. Jetzt hab ich nur noch ein Problem es als Mengeschreibweise hinzukritzeln.
Der Brief kommt doch dann in den Umschlag und wie schreibe ich das hin??

27.04.2008, 12:23

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Ok, das war im verlinkten Thread nicht so deutlich, dafür in anderen Threads ... Na ehe ich das jetzt raussuche, nochmal hier:

Man definiert passende Einzelereignisse wie

$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... Brief $\begin{eqnarray*} B_k \end{eqnarray*}$ gelangt in den richtigen Umschlag, also in $\begin{eqnarray*} U_k \end{eqnarray*}$

Dann beschreibt $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{k=1}^{10} A_k = A_1\cup A_2 \cup \ldots \cup A_{10} \end{eqnarray*}$ das Ereignis, dass mindestens eines dieser Ereignisse eintritt - mit anderen Worten: dass wenigstens einer der Briefe im richtigen Umschlag steckt.

Und zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses greift man zur Siebformel, weil man nämlich die Wahrscheinlichkeiten der Durchschnitte verschiedener $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ direkt in den Griff kriegt!

27.04.2008, 12:40

Olivia123

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Ach so, ich habe immer versucht das Ereignis folgendermaßen hinzuschreiben:

A={klein omega element omega/....}

Bin aber dabei nicht weiter gekommen! Man kanns ja auch mit der Siebenformel als Menge schreiben.
Danke
Freude

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