Supremum bestimmen

25.11.2005, 09:26

Poldi

Supremum bestimmen

Hallo Ihr Lieben,

ich muss für eine Folge von Funktionen die Norm bestimmen und komme an der Stelle

$\begin{eqnarray*} sup \{ \mid n^2x(1-x)^n \mid \mid x \in [0, 1] \} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

nicht weiter. Wie bestimmt man so ein Supremum? Die 0 bzw. 1 für x einzusetzen bringt mich nicht weiter, weil der Betrag in beiden Fällen 0 wird, für x = 0,5 z.B. aber größer als 0 ist. Sonst fällt mir mal wieder nichts Schlaues ein. Aber Euch doch bestimmt ...???

Gruß
Poldi

25.11.2005, 10:11

klarsoweit

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RE: Supremum bestimmen
Vielleicht hilft da Differentialrechnung.

25.11.2005, 10:55

henrik

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genau leite doch einfach mal x * (1-x)^n nach x ab und setz es 0.

dann wirst sehen dass das maximum immer bei x = 1 / (n+1) liegt in deinem intervall.

26.11.2005, 17:30

Poldi

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Jo, danke, das hat prima geklappt und mein Supremum (und damit die Norm von meinem $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ) habe ich dann mit

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n+1}(1- \frac{1}{n+1})^n \end{eqnarray*}$

ermittelt.

Nach diesem kleinen Erfolg stoße ich aber auch gleich an die nächste Grenze, denn jetzt soll ich auch noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ von dem Ding gleich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist.

Das will mir aber auch schon wieder nicht gelingen. Ich habe den Term mit bernoullischer Ungleichung umgeform, aber dabei kommt nichts raus, was zeigt, dass der Term nach oben nicht beschränkt ist.

In der Aufgabe ist noch der Hinweis, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+ \frac{r}{n})^n = e^r \end{eqnarray*}$ ist. Das hilft mir aber auch nicht so richtig weiter, weil in meiner Klammer doch im Nenner n + 1 steht und nicht n. Wenn das egal wäre, wär der Rest kein Problem, aber ich kann +1 doch nicht einfach ignorieren!?!!? verwirrt

26.11.2005, 17:40

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Zitat:

Original von Poldi
In der Aufgabe ist noch der Hinweis, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+ \frac{r}{n})^n = e^r \end{eqnarray*}$ ist. Das hilft mir aber auch nicht so richtig weiter, weil in meiner Klammer doch im Nenner n + 1 steht und nicht n.

Setze $\begin{eqnarray*} m:=n-1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} m\to\infty \end{eqnarray*}$ (ist ja nur um Eins "verschoben"), und du kannst schreiben

$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty } \left(1+ \frac{r}{m+1}\right)^{m+1} = e^r \end{eqnarray*}$

Wink

26.11.2005, 18:04

Poldi

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Ich hab das Gefühl, Ihr Mathematiker arbeitet mit mehr Tricks als Herr Copperfield persönlich. Allerdings komme ich trotzdem noch nicht so ganz mit:

Bei Dir steht jetzt zwar +1 im Nenner, so wie ich es in meinem Term auch brauche, aber dafür steht doch jetzt auch +1 im Exponenten und da ist es dann für meinen Term wieder zu viel, oder nicht!? verwirrt

26.11.2005, 18:21

klarsoweit

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Da kommt die Sache mit dem Kamel. Man nimmt eins hinzu und nimmt dann wieder eins weg. Also schreibe so:
$\begin{eqnarray*} (1- \frac{1}{n+1})^n = (1- \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot (1- \frac{1}{n+1})^{-1} = (1- \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

26.11.2005, 19:07

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Zitat:

Original von Poldi
Ich hab das Gefühl, Ihr Mathematiker arbeitet mit mehr Tricks als Herr Copperfield persönlich.

Stimmt. Allerdings sind unsere Tricks wohlbegründet, durchschau- und nachvollziehbar. Augenzwinkern

26.11.2005, 19:45

Poldi

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Demnach wäre:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n+1}(1- \frac{1}{n+1})^n = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n+1}(1- \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot (1- \frac{1}{n+1})^{-1}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n+1}(1- \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot (1- \frac{n}{n+1})^{-1}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}n(1- \frac{1}{n+1})^{n+1} = \infty \cdot e = \infty \end{eqnarray*}$

Richtig???

Wie immer tausend Dank an Euch alle!!!
Poldi

26.11.2005, 20:07

Marcyman

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Fast, e^(-1) ist der Grenzwert des rechten Faktors.

26.11.2005, 23:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von Poldi
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n+1}(1- \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot (1- \frac{1}{n+1})^{-1}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n+1}(1- \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot (1- \frac{n}{n+1})^{-1}= \end{eqnarray*}$
Poldi

Diese Umformung verstehe ich jetzt nicht. verwirrt

27.11.2005, 23:23

Poldi

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Zitat:

Original von Marcyman
Fast, e^(-1) ist der Grenzwert des rechten Faktors.

Ja, jetzt hab ich's auch gesehen! Danke!

Zitat:

Original von klarsoweit
Diese Umformung verstehe ich jetzt nicht.

Die ist wohl auch eher philosophischer denn mathematischer Natur Augenzwinkern

Gruß Poldi

28.11.2005, 00:38

Lazarus

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philosophisch mag sein, aber vorallem falsch !

28.11.2005, 09:10

Poldi

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Okay, ich korrigiere mich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n+1}(1- \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot (1- \frac{1}{n+1})^{-1}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n+1}(1- \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot (\frac{n}{n+1})^{-1}=... \end{eqnarray*}$
Ich hatte lediglich die Latex-Zeile kopiert und beim Verändern die "1 -" vergessen wegzunehmen. Jetzt müsste es aber passen...???

28.11.2005, 10:00

klarsoweit

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Jetzt bin ich einverstanden. Rock

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