Integration durch Substitution |
15.04.2004, 15:21 | Wind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Integration durch Substitution Die Gleichung lautet dx Wie rechne ich das aus mit Substitution? Ich bräuchte den gesamten Rechenvorgang, damit ich auch sehe, wie die Rücksubstitution geht. Danke |
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15.04.2004, 15:40 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi. Du ersetzt den Nenner u = x² - 2x -3 dann ist du/dx = 2x - 2 = 2 ( x-1 ) dx = du / 2 ( x -1 ) Das eingesetzt in dein Integral ergibt daraus kannst du kürzen dann steht da noch Jetzt noch integrieren ( ln ....) und die Grenzen einsetzen. MfG Brainfrost |
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15.04.2004, 16:07 | Wind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, danke, muss ich Rücksubstitieren? Oder kann ich das Ergebnis einfach so lassen? |
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15.04.2004, 17:48 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du musst vor allem erstmal integrieren Das wäre dann dann kannst du für u wieder x²-2x-3 einsetzen Allerdings müsste das wohl in Betragsstriche also So müsste es richtig sein MfG Brainfrost |
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27.04.2004, 16:13 | Wind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist das Ergebnis 0,396? |
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27.04.2004, 17:25 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Integration durch Substitution Nein, das Ergebnis ist -0,144 (auf 0,001 genau). Aber ich möchte euch auf einen Fehler aufmerksam machen. Zwar stimmt das Endergebnis bei BraiNFrosT, aber zwischendrin ist es falsch. Man hat zwei Möglichkeiten: Entweder man integriert unbestimmt (also ohne Grenzen), d.h. man bestimmt eine Stammfunktion F(x) des Integranden. Mit dieser Stammfunktion kann man dann mittels F(b)-F(a) das bestimmte Integral mit unterer Grenze a und oberer Grenze b berechnen. Oder man integriert gleich bestimmt. Dann muß man aber auch beim Substituieren die Grenzen anpassen. Ich gehe einmal den zweiten Weg: BraiNFrosT hat völlig korrekt u = x²-2x-3, dx = du/(2(x-1)) substituiert. Beim Umrechnen von x auf u muß man jetzt aber auch die x-Grenzen in u-Grenzen umrechnen! x=1 (untere Grenze) entspricht u = 1²-2·1-3 = -4 x=2 (obere Grenze) entspricht u = 2²-2·2-3 = -3 Also geht die korrekte Rechnung so: |
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27.04.2004, 21:05 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke Leopold. Das habe ich vollkommen übersehen. Allerdings kann ich doch nach der Rücksubstitution wieder meine "richtigen" Grenzen verwenden, oder ? MfG Brainfrost |
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28.04.2004, 00:13 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja Gruß vom Ben |
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29.04.2004, 07:37 | Wind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Moment... Wie kommst du auf dieses Ergebnis? Ich hab nochmal nachgeschaut...ist bei den negativen Grenzen es überhaupt möglich den Logarithmus auszurechnen? Und wenn ja, dann erkläre mir bitte, wie du das in dein Taschenrechner eingegeben hast? Danke |
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29.04.2004, 08:29 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die negativen Grenzen machen der Formel keine Probleme: Dafür berechnest du ja den Logarithmus vom Betrag des Arguments! Und das machst du nicht nur, weil's schöner zu rechnen ist, sondern weil's die richtige Formel ist. Allerdings musst du z.B. bei wissen, was du willst. Die Stammfunktion ln(|x|) liefert die 0 als Integral, jedoch musst du beachten, dass der Integrationsbereich [-1, 1] die Polstelle von 1/x enthält. Die Berechnung mit der Stammfunktion geht davon aus, dass sich die beiden unendlichen Teilflächen gegebenseitig aufheben, das ist jedoch nicht immer, was man will. Strenggenommen existiert dieses Integral nicht (jedenfalls weder nach Riemann noch nach Lebesgue). Gruss, SirJective |
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29.04.2004, 09:10 | Wind | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich versteh kein Wort. Morgen schreib ich die Abiklausur und ich versteh nichts - das wird furchtbar |
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12.05.2006, 23:32 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hol einfach mal dieses Thema hoch, statt ein neues zum selben Thema anzulegen... hoffe, das ist ok. Dank einem obigen Beitrag weiß ich jetzt zumindest, wie man die Grenzen anpasst. Darf man immer substituieren, wie man will? Wir hatten nur eine Substitutionsregel, wo man brauchte, dass man den Integranden irgendwie auf f(u(x))*f'(x) bringen kann. Und wie macht man das bei unbestimmten Integralen? Da kann ich ja die Grenzen nicht anpassen. Ich habe z.B. Durch u = ln(x) komme ich auf die Stammfunktion arctan(u). Kann ich jetzt einfach schreiben arctan(ln(u)) und das ist die Stammfunktion? Kommt mir komisch vor |
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13.05.2006, 02:10 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mal abgesehen davon, dass dein Ergebnis falsch ist, kannst du das so schreiben. Wenn du keine Grenzen hast, dann kannst du die natürlich auch nicht mitsubstituieren. Und nochwas: es gibt nicht die Stammfunktion, sondern unendlich viele. Deshalb muss noch +c hintendran. Und zum Ergebnis: wie sieht denn dein Integral nach der Substitution aus? |
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13.05.2006, 07:34 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(keine farbliche Hervorhebung im Original) Dem ersten Teil stimme ich zu, dem zweiten nicht. Nach allgemeiner Auffassung fungiert ein Parameter (hier: c) wie eine, wenn auch unbenannte Konstante. Also auch wer dahinter noch ein +c schreibt, sucht sich unter den unendlich vielen Stammfunktionen genau eine aus, auch wenn er nicht ganz so konkret ist wie einer, der kein +c dahinterschreibt. Da also dieses +c die Sache mit dem unbestimmten Integral keineswegs besser macht, sondern, weil dem oberflächlichen Betrachter eine Korrektheit suggeriert wird, die gar nicht gegeben ist, eher schlimmer - weil das also so ist, kann man das +c auch gleich ganz weglassen. Man muß sich eben damit abfinden, daß der Gebrauch des Gleichheitszeichens bei unbestimmten Integralen, historisch bedingt, nicht der übiche ist. Hier bedeutet Gleichheit so viel wie "Gleichheit modulo einer additiven Konstanten". Aus folgt daher nicht , sondern nur: |
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13.05.2006, 12:12 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ups, hab mich bei der Funktion verschrieben... Es heißt (ln(x))^2. Stimmt die Stammfunktion dann? Ich glaubs irgendwie nicht, weil ich Grenzen genommen und das ganze mit dem GTR ausgerechnet habe - einmal die Originalfunktion, einmal arctan(u) mit angepassten Grenzen und einmal arctan(ln(u)) mit Originalgrenzen und jedesmal kam was anderes raus Ich weiß aber, dass auch andere arctan(u) als Stammfunktion raushaben. Ich weiß übrigens schon, dass es unendlich viele Stammfunktionen gibt - aber wir scheiben das nicht jedesmal hin, so wie Leopold auch gesagt hat. |
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13.05.2006, 12:23 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Leopold So habe ich das noch gar nicht gesehen. Klingt aber einleuchtend. Werde ich mir für die Zukunft so merken @gessi
Nein, das ist auch nicht richtig. Das kannst du nachprüfen, indem du es wieder ableitest. Deshalb nochmal die Frage, wie dein Integral nach der Substitution aussieht? Richtig wäre . Mit der von dir gewählten Substitution u=ln(x) kommst du da hin. |
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13.05.2006, 12:46 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na gut, schreibe ich meine Rechnung mal her: Ich habe . Dann setze ich u = ln(x). Außerdem habe ich . Daraus folgt dx =x*du. Eingesetzt ergibt das . Das x fliegt raus, es bleibt also . Ich dachte, das ergäbe "aufgeleitet" arctan. |
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13.05.2006, 12:48 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na da haben wir ja den Fehler
Das ist falsch. ABER
Das ist richtig. In deinem ersten Posting hast du das Quadrat beim ln vergessen. |
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13.05.2006, 13:05 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab mich wohl unklar ausgedrückt... Mit "Ups, hab mich bei der Funktion verschrieben... Es heißt (ln(x))^2. Stimmt die Stammfunktion dann?" meinte ich, dass das Quadrat in der Funktion fehlt. Aber wieso bringt mir der GTR dann lauter verschiedene Ergebnisse. Hab als Grenzen 2 und 3 bzw. bzw. ln(2) und ln(3) genommen und komme einmal auf 0,226 und einmal auf 12,9. Es wäre doch arctan(ln(3))-arctan(ln(2)), oder? Aber mit dem math9 (fnint) und der Originalfunktion kommt halt was anderes raus. Oder darf ich das so nicht überprüfen? |
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13.05.2006, 13:19 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ups, das habe ich übersehen
Da verstehe ich nicht, was du gemacht hast. Natürlich kriegst du verschiedene Ergebnisse, wenn du verschiedene Grenzen einsetzt. Es ist (im Gradmaß) Und wie kommst du auf die 0,226? |
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13.05.2006, 13:40 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe im normalen Menü beim GTR, wo man die Funktion eingeben und ihr Integral berechnen kann, die Originalfunktion mit den Grenzen 2 und 3 eingegeben. Da kam dieses 0,226 raus. Und es müsste doch gelten , oder? |
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13.05.2006, 13:49 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man kann den arctan im Gradmaß und im Bogenmaß ausrechnen. 0,226 das Ergebnis im Bogenmaß, 12,96 im Gradmaß. Es gilt der Zusammenhang Ich behaupte mal, dass in Analysis Winkel im Bogenmaß üblicher sind. Du solltest dich also mal damit befassen, wie du den Taschenrechner umstellst. |
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13.05.2006, 13:56 | gessi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt stimmt es!!! Hab gar nicht dran gedacht, dass der auf degree stehen könnte... (ich hab ihn fast immer auf radian) Danke! Dann mach ich mich mal an die anderen Aufgaben Nur noch eine Frage: Wie ich irgendwo weiter oben geschrieben habe, hatten wir die Substitutionsregel nur, wenn man die Funktion irgendwie auf f(u(x))*u'(x) bringen konnte. Dass das jetzt immer geht, liegt daran, dass man dieses u'=du/dx macht und dx ersetzt, oder? |
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13.05.2006, 13:57 | Crotaphytus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. Prinzipiell kannst du die Substitutionsregel also immer anwenden und alles mit jedem substituieren. Der Trick dabei ist jedoch, was passendes zu finden, so dass das Integral danach einfacher wird. |
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