Folgen Konvergenz/Divergenz

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Smarti Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen Konvergenz/Divergenz
Hoi,

dieses mal hab ich sogar nur eine Aufgabe, die ich nicht ganz verstehe (es bessert sich smile )

Es sei Folge positiver reeller Zahlen mit .

Sei
a) a < 1 Zeige das konvergiert und bestimme den Grenzwert

b) a > 1 Zeige das divergiert

c)für a = 1 Kann sie konvergieren oder divergieren, gib jeweils ein Beispiel an.


So, zu c habe ich mir eine konvergente Folge ausgedacht: und eine divergentefällt mir partout nicht ein.

zu a und b: Eine Folge ist ja konvergent, wenn gilt . Nun kann ich ja setzen. Wenn nun a > 1 ist, würde ja quasi mit jedem Schritt wachsen...und nach meiner Auffassung divergieren. Bei a) ist mir auch klar, wieso...nur mit dem Beweisen happerts auch da.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komische Folge
Zitat:
Original von Smarti
zu a und b: Eine Folge ist ja konvergent, wenn gilt .


Ich hab jetzt mal nur bis dahin gelesen. Eine Folge ist konvergent, wenn es zu jedem ein gibt so, dass für alle gilt:


Gruß, therisen
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok hast Recht, in meinem Tippwahn smile editiert.
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

wo ist denn dein problem bei Teilaufgabe a)????
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe keinen mathematischen Ansatz (nur einen Gefühlten) und weiss auch nicht wogegen die konvergieren soll.
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a und b : Übelege z.B., was mit dem Grenzwert passiert, wenn a_n konvergiert (gegen 0 bzw. nicht gegen 0).
Zu c : Schon mal an a_n=n gedacht? smile
 
 
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

zu a+b) Wenn gegen 0 konvergiert, dann konvergiert auch gegen null, wenn a < 1 ist. Wenn a > 1 ist, fluppt wie gesagt ins unendliche, oder? Wie mache ich des mit einem Grenzwert != 0?

zu dem c) Für mich ist (n+1)/n aber nicht 1...oder versteh ich schon wieder was nciht?
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn a > 1 ist, fluppt wie gesagt a_{n+1} ins unendliche, oder?

Wie soll denn das bei lim a_n = 0 funktionieren? a_n+1 und a_n sind doch aufeinanderfolgende Glieder derselben Folge. lim a_{n+1} = lim a_n

Zitat:
Wie mache ich des mit einem Grenzwert != 0?

Kennst du die Grenzwertsätze für konvergente Folgen?

Zitat:
zu dem c) Für mich ist (n+1)/n aber nicht 1...oder versteh ich schon wieder was nciht?

Es geht ja um den Grenzwert, und der ist 1.
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn a_n konvergiert, heisst es damit automatisch dass a_n-a > a_(n+1)-a ? Wenn ja, wäre es ja einfach. Wenn nein ...dann versteh ich das immernoch nicht.

GRenzwertsätze sollte ich kennen...aber was es mir hier bringen soll Augenzwinkern
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Smarti
Wenn a_n konvergiert, heisst es damit automatisch dass a_n-a > a_(n+1)-a ?

Nein, das hieße ja, dass a_n > a_n+1 für alle n...
Wenn a_n gegen eine Zahl ungleich 0 konvergiert, dann kannst du auf einen Grenzwertsatz anwenden.
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »





Und wenn lim a_n=0 muss ja auch lim a_n+1 = 0 sein, ...und das war dann doch schon die a, oder? Aber wie mach ich denn die b, weil normal ginge es doch genau so
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf diese beiden Gleichungen?? Die sind so vollkommen falsch. Bei a) solltest du ein positives finden, sodass



ist für fast alle .

Bei b) geht es ganz entsprechend, nur dass ist. c) dürfte ja schon geklärt sein.

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da stellt sich bei mir halt die Frage: Wie..?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Voraussetzung und der Definition des Grenzwertes.

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab mir die Def und alles nochmal angeguckt, aber ich hab immernoch keine Ahnung wie ich ansetzen soll.

Zu jedem existiert ein , so dass für alle

Was soll mir der Satz bringen? Soll ich das limus in derGleichung damit ersetzen? Dann hab ich da epsilon drin..ich versteh des nicht
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie ich die jetzt noch weiter helfen soll, ohne gleich alles zu verraten. Machen wir ein Beispiel: . dann gibt es doch zu ein , sodass für alle stets



bleibt. Für diese gilt dann

, also



und damit haben wir ein solches gefunden. Versuche einmal, das auf den allgemeinen Fall zu übertragen.

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

O, ich versuchs mal:





(Beträte halt weggelassen)



Ist das so richtig? Aber wäre >1 nicht analog und nicht auch dasselbe ergebnis?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Zeile muss



heißen. Das bringt nur erstmal nicht so viel, du musst schon explizit ein solches , d.h. erstmal explizit ein angeben. Ja, bei macht man es ganz ähnlich, nur dass man dann hat und dann geht nunmal gegen .

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin verwirrt...ich soll etwas allgemein zeigen, muss nun aber ein explizites Epsilon einsetzen? Vorallem, was habe cih davon? Ich kann doch mit einem eingesetzten Epsilon auch nicht mehr zeigen, wenn ich a nicht kenne? Was muss ich denn nun da noch machen,d ann frage ich am Montag meinen Tutor..denn diese Aufgabe verwirrt mich total.

Und das mit b hab ich auhc irgendwie nicht verstanden...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, schon explizit, aber nicht sowas wie oder so, sondern schon etwas, was von abhängt.

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »



Dann würde ich doch epsilon = a setzen, oder? Das gäbe die Gleichung oben..hab ich was davon? *kopfkratz*
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Davon hast du nichts, weil nicht unbedingt sein muss. Deswegen sollst du ein in Abhängigkeit von addieren, sodass immer noch gilt.

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Ich steh aufm Schlauch...epsilon muss doch auch größer null sein..wie soll ich da ein a+epsilon finden..ich weiss doch nur das e<1-a ist..mehr nicht...

sorry...ich bin auch nicht gut dabei momentan, fieber und so. danke für dein durchhaltevermögen smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut, du bemühst dich ja. Probier es doch mal mit .

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »



und 1/2*a +1/2 ist ja immer < 1...also ist es nun bewiesen? Also die a? Ich guck mal ob ich die b hinkriege, glaube aber jetzt schon nein (ich verstehe zwar ungefähr was du gemacht hast..aber so wirklich .smile )
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt gezeigt, dass es ein , nämlich gibt, sodass



ist für alle . Jetzt haben wir aber noch nicht bewiesen, dass eine Nullfolge ist, das musst du noch machen.

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab doch gar keine Informationen über a_n alleine? Wie soll ich darüber eine Aussage machen? Ausserdem muss a_n doch keine Nullfolge sein, oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, du hast da schon eine Aussage, halt eine rekursive:

.

Folgere daraus durch Induktion . Der Rest dürfte dann klar sein.

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Damit komme ich nun gar nicht klar. Ich hab hier eine halbe dinA4 Seite vollgekritzelt und irgendwie gar nichts brauchbares dabei rausbekommen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du denn jetzt daran nicht?

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich auch nur annähernd durch Induktion von deinem 1. auf deinen 2. Term kommen soll.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, diese Aussage durch Induktion zu beweisen, ist doch nicht schwierig.
Induktionsanfang dürfte klar sein.
Induktionsschritt: Voraussetzung: .
Behauptung: .

Dabei darfst du natürlich benutzen.

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du überhaupt auf die VOrraussetzung? Was soll das eigentlich bringen? Für q>1, dass es ins unendliche geht?

Ich werd das morgen mal mit Induktion versuchen, ich denke nicht, dass ich momentan irgendeine Rechnung hinbekomme
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, bei musst du nochmal ganz von vorn anfangen. Für soll man damit sehen, dass eine Nullfolge ist.

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

und wie kommst du da auf den INduktionsschritt mit q^n ...bisher hatten wir nu 1 mal q
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht doch eigentlich alles in meinem vorletzten Post. Mit der Induktionsvoraussetzung sieht das so aus:

.

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

naok...und wie mache ich das mit aufgabenteil b? Genau so nur mit q > 1 ? Oder völlig anners?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Da machst du es genauso, nur dass du ein finden musst, sodass ist für fast alle . Dabei kannst du aber das gleiche wählen.

Gruß MSS
Smarti Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, da werde ich morgen meine Rechnungen mal offen legen und werde mein Fieber erstmal auskurieren. Nochmals danke bis hierhin! Mit Zunge
Tuerknopf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Smarti
Ok, da werde ich morgen meine Rechnungen mal offen legen und werde mein Fieber erstmal auskurieren. Nochmals danke bis hierhin! Mit Zunge


Und, was hast du da nun rausbekommen?

Bin mal gespannt, auch wenn wir heute den Zettel schon abgeben mussten Augenzwinkern
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