Teilbarkeit zeigen

26.04.2008, 18:06	zebra12	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit zeigen Hallo, ich habe noch ein Problem mit einer Aufgabe: Man soll zeigen, dass 504 für jede natürliche Zahl n ein Teiler von $\begin{eqnarray} (n^3-1)n^3(n^3+1) \end{eqnarray}$ ist. Ich habe natürlich schon bemerkt, dass für alle n die Primfaktoren von $\begin{eqnarray} 504 = 2^3 3^2 7 \end{eqnarray}$ vorkommen (n=1 ist sowieso klar). Aber wie soll ich das zeigen. Es geht sicher mit der angegebenen Form, denn sonst hätte er wohl einfach $\begin{eqnarray} n^9 - n^3 \end{eqnarray}$ geschrieben. Geht das induktiv? Falls ja weiß ich nicht, wie im im IS die IV verwende.
27.04.2008, 01:37	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls du Kongruenzrechnung kennst, kannst du auch diese verwenden... ich machs mal exemplarisch am Faktor 8. Eine natürliche Zahl lässt beim teilen durch 8 einen der Reste $\begin{eqnarray} \{0, 1,2,...,7\} \end{eqnarray}$ Für jeden dieser Reste musst du jetzt testen, ob dein Ausdruch durch 8 teilbar ist. Rest 0: da gilts offensichtlich, da $\begin{eqnarray} 0^3=0 \end{eqnarray}$ Rest 1: $\begin{eqnarray} 8\|(1^3-1) \end{eqnarray}$ Rest 2: $\begin{eqnarray} 8\|2^3 \end{eqnarray}$ Rest 3: $\begin{eqnarray} 8\|(3^3-1)3^3(3^3+1) \end{eqnarray}$ .... Es gibt evlt schönere/elegantere Wege dies zu zeigen, aber diese Haudraufvariante sollte man auch kennen! Der kleine Satz von Fermat kann dir auch einen kleinen Teil Arbeit ersparen. Induktiv gehts natürlich auch, aber is wahrscheinlich eher ekelhaft
27.04.2008, 08:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehe ich genauso: Induktiv ist auch kein Vergnügen, denn wenn man $\begin{eqnarray} f(n+1)-f(n) \end{eqnarray}$ ausrechnet, sieht man dem Term genauso wenig die Teilbarkeit durch 504 an wie dem Originalterm oben. Nein, einfach drei Tabellen für die Reste von $\begin{eqnarray} n^3 \end{eqnarray}$ modulo 7, modulo 8 und modulo 9 aufstellen - dann kann man die Geschichte systematisch mit vertretbarem Aufwand erledigen.

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