Integration durch Substitution

26.04.2008, 18:09

downunderthunder

Integration durch Substitution

Hallo,
ich hab arge Probleme bei der Lösung der Aufgabe 2 des angefügten Aufgabenblattes?

Ich weiss einfach nicht, wie ich da substituieren muss.
Vielleicht hat ja jemand Lust die Aufgabe 2 a exemplarisch vorzurechnen?

http://www.alice-dsl.net/oliver.rubinke/u4.pdf

gruß,

Rolli

26.04.2008, 19:03

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von downunderthunder
Vielleicht hat ja jemand Lust die Aufgabe 2 a exemplarisch vorzurechnen?

Nee, wir machen das hier so: du sagst uns genau, wo es klemmt, und wir erklären dir dann das. Siehe auch:
Prinzip "Mathe online verstehen!"

Was das Integral angeht, sollest du bei Ausdrücken wie 1-t² immer an trigonometrische Substitutionen denken. Meistens kann man mit t=sin(u) was anfangen.

26.04.2008, 19:31

downunderthunder

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Also dann hier konkret, wodran es bei mir scheitert:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{dt}{t^2*\sqrt{1-t^2}}~ \end{eqnarray*}$

Nun das Integral bilden:

ich habs mit $\begin{eqnarray*} t=\sin(u) \end{eqnarray*}$ versucht!!!

also $\begin{eqnarray*} dt=\cos(u) \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{\cos(u)}{\sin^2(u)*\sqrt{1-\sin^2(u) }} ~ \end{eqnarray*}$

das ergibt (trigonometrischer Pythagoras!)

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{\cos(u)}{\sin^2(u)*\cos(u) } ~ \end{eqnarray*}$

dann kann ich kürzen und erhalte das hier:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{1}{\sin^2(u) } \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es weiter? ist mein Vorgehen richtig, denn so komme ich nicht auf die Lösung!!!?

gruß,

Rolli

26.04.2008, 19:43

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Vielleicht siehst du eine passende Substitution, wenn ich den Integranden etwas umforme:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t^2\sqrt{1-t^2}} = \frac{1}{t^3\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}} \end{eqnarray*}$

26.04.2008, 19:55

downunderthunder

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Tut mir leid ich bin seit diverses Stunden schon bei der Mathematik.

Ähmm wie kommst du auf die Umformung? das kann ich nicht ganz nach vollziehen und wie soll mir das dann weiterhelfen?

Sorry ich muss das fragen, denn ich steh' irgendwie voll auf'm Schlauch!!

27.04.2008, 12:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von downunderthunder
also $\begin{eqnarray*} dt=\cos(u) \end{eqnarray*}$

Richtig muß es lauten: $\begin{eqnarray*} dt=\cos(u)du \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von downunderthunder
Ähmm wie kommst du auf die Umformung? das kann ich nicht ganz nach vollziehen und wie soll mir das dann weiterhelfen?

Also das sollte ja wohl kein Problem sein:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t^2\sqrt{1-t^2}} = \frac{1}{t^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{t^2}} \cdot \sqrt{1-t^2}} = \frac{1}{t^3 \cdot \sqrt{\frac{1}{t^2}-1}} \end{eqnarray*}$

Also diesen kleinen fehlenden Zwischenschritt sollte man dann schon sehen.
Die Umformung geht natürlich nur für t>0, ansonsten aber recht pfiffig. Jetzt kann man den Term unter der Wurzel substituieren.

Was die Lösung von $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{sin^2(u)}~du \end{eqnarray*}$ angeht, kann man mit den üblichen Integrationsmethoden rangehen. Die sind in diesem Fall vielleicht etwas umständlich, führen aber in jedem Fall zum Ziel:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{sin^2(u)}~du = \int~\frac{1}{tan^2(u) \cdot cos^2(u)}~du \end{eqnarray*}$

Hier hilft nun die Substitution z = tan(u).

27.04.2008, 16:56

downunderthunder

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Hmmh ich komme trotzdem nicht auf die richtige Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{-\sqrt{1-t^2} }{t} \end{eqnarray*}$

Ich hab's mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{t^2} -1 \end{eqnarray*}$ versucht!

ich weiss nicht, wie ich dann weiter vorgehen soll.
Anmerkung: ich hab das noch nie so wirklich gemacht nur 2-3 Beispiele gesehen, die anders waren?

27.04.2008, 17:07

Leopold

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Zitat:

Original von downunderthunder
dann kann ich kürzen und erhalte das hier:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\frac{1}{\sin^2(u) } \end{eqnarray*}$

Zu meiner Zeit nannte man das noch ein "Grundintegral", von dem man die Stammfunktion einfach wußte, ebenso wie etwa von $\begin{eqnarray*} \sin{x} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \cos{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ . Steht im übrigen in jeder Formelsammlung.

Und noch etwas: Offenbar geht es hier um ein unbestimmtes Integral. Laß also die Integrationsgrenzen einfach weg. Stimmen tun sie sowieso nicht. Und das Differential $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}u \end{eqnarray*}$ hast du auch unter den Tisch fallen lassen.

28.04.2008, 09:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von downunderthunder
Ich hab's mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{t^2} -1 \end{eqnarray*}$ versucht!

Dann sag doch mal, was du versucht hast.

Zitat:

Original von downunderthunder
ich weiss nicht, wie ich dann weiter vorgehen soll.

Du brauchst eigentlich nur die Substitutionsregel anwenden:

$\begin{eqnarray*} \int~f(g(t)) \cdot g'(t)~dt = \int~f(u)~du \end{eqnarray*}$

Dazu mußt du natürlich erstmal die Funktionen f(u) und g(t) festlegen.

28.04.2008, 19:20

downunderthunder

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Ja danke ihr konntet mir gut weiterhelfen.
Ich hatte vorhin Matheübung und jetzt ist mir noch so einiges mehr klar in Bezug auf Integralrechnung.
Es scheint so, als müsste ich mich noch mehr mit meiner Formelsammlung vertraut machen (Papula!). Dort sind so ganz viele Integraltabellen drin!

gruß,

Rolli

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