ln un e

25.11.2005, 20:22

DasPhi

ln un e

kann ich ln (log zur basis e) und e so verstehen wie wurzel ziehen und quadrieren? also so dass wenn ich ln zu einer zahl x habe und dann halt irgendwie so e "mache", dass dann einfach nur noch die zahl x rauskommt?

25.11.2005, 20:27

Mathespezialschüler

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Ja, das sind Funktion und Umkehrfunktion, also $\begin{eqnarray*} \operatorname e^{\ln x}=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ln \operatorname e^x=x \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

25.11.2005, 20:30

DasPhi

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danke, das klingt logisch...bis jetzt zumindest

25.11.2005, 20:32

Gust

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ist das analog dann die wurzel:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{x}\right)^2 = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = x \end{eqnarray*}$ ?

25.11.2005, 20:34

DasPhi

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und wenn ich dann $\begin{eqnarray*} -e^{- ln * \frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ hab, is das dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ? oder is das $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

edit: so is richtig

25.11.2005, 20:35

Mathespezialschüler

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Ja, aber nur für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

@edit: @DasPhi
Natürlich $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

25.11.2005, 20:36

DasPhi

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aso ich hab das - im exponent vergessen

25.11.2005, 20:38

Gust

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ja, aber nur für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

haut das hin für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

@ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ :

dann isses $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ !

25.11.2005, 20:39

Mathespezialschüler

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*lol* Nein. Für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ja nichtmal eine Funktion!!

Gruß MSS

25.11.2005, 20:39

JochenX

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Zitat:

Original von DasPhi
und wenn ich dann $\begin{eqnarray*} -e^{- ln * \frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ hab, is das dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ? oder is das $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} -ln(x)=ln(x^{-1}) \end{eqnarray*}$

jetzt du;

übrigens, etwas aufpassen muss man schon:
$\begin{eqnarray*} -1 \not= e^{\ln(-1)} \end{eqnarray*}$ , denn das rechte ist nicht definiert

25.11.2005, 20:40

DasPhi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ja, aber nur für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

aber wenn x doch quadriert ist, dann müsste doch auch x<0 gehen oder?

25.11.2005, 20:40

Gust

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warum nicht - geht das dann nichtmal als relation durch?

25.11.2005, 20:44

DasPhi

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wenn ich also das minus aus dem exponent nach vorne ziehen kann, dann wäre ja auch $\begin{eqnarray*} -e^{- ln * \frac{1}{x}} = e^{ln * \frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

25.11.2005, 20:44

Mathespezialschüler

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@DasPhi
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(-5)^2}=5\neq -5 \end{eqnarray*}$ .

Für negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=-x \end{eqnarray*}$ . Insgesamt gilt für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=|x| \end{eqnarray*}$ .

Und es ist

$\begin{eqnarray*} -\operatorname e^{-\ln\frac{1}{x}}=-x \end{eqnarray*}$ .

@Gust
Und was willst du dann mit der Relation anstellen?

Gruß MSS

25.11.2005, 20:48

DasPhi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Und es ist

$\begin{eqnarray*} -\operatorname e^{-\ln\frac{1}{x}}=-x \end{eqnarray*}$

also das versteh ich jetzt gar nicht

25.11.2005, 20:49

Gust

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@mss: wozu überhaupt funktionen und relationen Zunge

- nein, vielleicht kenn ich mich da zuwenig aus, aber generell smile

und $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = \pm x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^- \end{eqnarray*}$ oder hab ich da was verwechselt?

25.11.2005, 20:56

DasPhi

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also ich find die lösung von gust mit 1/x logischer als -x

25.11.2005, 20:57

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gust
und $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = \pm x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^- \end{eqnarray*}$ oder hab ich da was verwechselt?

Nein, das ist quatsch. Eine Wurzel ist immer eine nichtnegative Zahl.

@DasPhi
Aber sie ist falsch. Also, warum findest du sie logischer?

Gruß MSS

25.11.2005, 21:00

DasPhi

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naja also das -e und das -ln heben sich ja gegenseitig auf oder? und dann bleibt nur noch 1/x übrig...

25.11.2005, 21:06

Mathespezialschüler

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Nein, das eine Minus steht vor der Basis, das andere steht im Exponenten, das sind ja verschiedene "Ebenen", das darfst du da nicht einfach hochziehen. Aber es geht folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \operatorname e^{-\ln\frac{1}{x}}=\left(\operatorname e^{\ln\frac{1}{x}}\right)^{-1}=\ldots \end{eqnarray*}$

und dann noch mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

Gruß MSS

25.11.2005, 21:10

DasPhi

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das wär ja dann $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{x})^{-1}=-x \end{eqnarray*}$ ?

25.11.2005, 21:16

derkoch

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Zitat:

Original von DasPhi
das wär ja dann $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{x})^{-1}=-x \end{eqnarray*}$ ?

und warum sollte das ein problem sein?

25.11.2005, 21:17

DasPhi

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@ derkoch: ja jetz ist das auch kein problem mehr, das hab ich grad von mss erklärt bekommen

25.11.2005, 21:18

derkoch

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Zitat:

Original von DasPhi
@ derkoch: ja jetz ist das auch kein problem mehr, das hab ich grad von mss erklärt bekommen

oki! ich hatte nur den letzten eintrag von dir gelesen! Augenzwinkern

25.11.2005, 21:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von DasPhi
das wär ja dann $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{x})^{-1}=-x \end{eqnarray*}$ ?

Ja, aber du das Minus muss ursprünglich vor der Klammer stehen.

$\begin{eqnarray*} -\operatorname e^{-\ln\frac{1}{x}}=-\left(\operatorname e^{\ln\frac{1}{x}}\right)^{-1}=-\left(\frac{1}{x}\right)^{-1}=-x \end{eqnarray*}$

Hier macht das zwar nichts aus, in anderen Fällen aber schon.

Gruß MSS

25.11.2005, 21:25

DasPhi

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aber vllt kann mir trotzdem nochmal jemand bei einer aufgabe helfen, ich krieg da nämlich was andres raus als mein taschenrechner und weiß nicht wo mein fehler ist.
also ich soll $\begin{eqnarray*} f(x)=(ln x)^3 \end{eqnarray*}$ ableiten
ich hab also zuerst die umkehrfunktion gebildet: $\begin{eqnarray*} g(x)=e^{(x^{2/3})} \end{eqnarray*}$ und die hab ich dann abgeleitet: $\begin{eqnarray*} g'(x)= \frac{1}{3}*\frac{1}{\sqrt[3]{(ln x)^2}}*e^{ln x} \end{eqnarray*}$
ist das soweit richtig?

edit: also ich hab da bei g' gleich g'(f(x)) gemacht
danach müsst ich doch nur noch den kehrwert bilden..

25.11.2005, 21:27

Mathespezialschüler

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Die Umkehrfunktion ist schon falsch. Allerdings musst du es ja nicht damit machen. Du kannst ja auch einfach die Ableitung vom $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ und die Kettenregel benutzen.

Gruß MSS

25.11.2005, 21:36

DasPhi

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ähm..das mit der kettenregel is gut, das mach ich mal.

und auf die umkehrfunktion bin ich so gekommen: (x und y vertauscht)
$\begin{eqnarray*} (ln y)^3 = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln y = \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = e^{\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$
ups ich hatte da ja 2/3 geschrieben statt 1/3

auf jeden fall hab ich dann die abgeleitet zu:
$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{1}{3} * \frac{1}{x^{\frac{2}{3} }} * e^{(x^{\frac{1}{3}})} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

edit: mit der kettenregel komm ich aufs gleiche ergebnis wie der taschenrechner

25.11.2005, 21:39

Mathespezialschüler

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Ja.

Gruß MSS

25.11.2005, 21:42

DasPhi

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thx

27.11.2005, 15:49

DasPhi

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wie leite ich denn denn $\begin{eqnarray*} \frac{2*e^{2*ln(\sqrt{ax})}}{3*a} \end{eqnarray*}$ ?
muss ich dann einfach nur $\begin{eqnarray*} 2*e^{2*ln*\sqrt{ax}} \end{eqnarray*}$ ableiten und dann das 3*a wieder unter den bruchstrich schreiben? und wenn ich dann $\begin{eqnarray*} 2*e^{2*ln*\sqrt{ax}} \end{eqnarray*}$ ableite, is das dann richtig, wenn ich da dann $\begin{eqnarray*} 4*\sqrt{ax} \end{eqnarray*}$ rausbekomme?

27.11.2005, 15:52

20_Cent

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das mit dem 3a unter dem bruchstrich stimmt...
aber was soll das genau heißen?
$\begin{eqnarray*} e^{2*\ln{(\sqrt{ax})}} \end{eqnarray*}$ ? dann kann man das nämlich noch weit vereinfachen.
mfg 20

27.11.2005, 15:53

DasPhi

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ähh...ja genau das soll das heißen, aber was kann ich denn da noch vereinfachen?

27.11.2005, 16:03

20_Cent

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die wurzel ist nichts anderes als $\begin{eqnarray*} (ax)^{1/2} \end{eqnarray*}$ . Laut einem Logarithmusgesetz kann man exponenten vor den ln schreiben. dann kürzt sich die 2 und das 1/2 weg.
danach heben sich e und ln gegenseitig auf. übrig bleibt also was?
mfg 20

27.11.2005, 16:06

DasPhi

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ähm... $\begin{eqnarray*} \frac{2ax}{3a} = \frac{2x}{3} \end{eqnarray*}$

stimmt, jetz wo dus sagst, kann ich mich auch so dunkel an ein solches gesetz erinnern..

27.11.2005, 16:08

20_Cent

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ist richtig...
mfG 20

27.11.2005, 16:37

DasPhi

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wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x)=x*lnx \end{eqnarray*}$ ableiten will, dann muss ich ja erst die umkehrfunktion bilden. dazu muss ich ja x und y vertauschen und dann bekomm ich $\begin{eqnarray*} x = y*lny \end{eqnarray*}$
wie löse ich das denn jetzt nach y auf?

27.11.2005, 16:38

20_Cent

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Zitat:

Original von DasPhi
wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x)=x*lnx \end{eqnarray*}$ ableiten will, dann muss ich ja erst die umkehrfunktion bilden.

wie kommst du da drauf??
leite einfach mithilfe der produktregel ab.
mfG 20

27.11.2005, 17:03

DasPhi

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hmm..danke das hat funktioniert, ich vergess immer dass das auch leichter geht als mit umkehrfunktion, weil wir grad das mit umkehrfunktion gelernt haben

27.11.2005, 17:29

Gust

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was war das nochmal? $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy}=\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

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ln un e

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