Hilfe zu der partiellen Integration im Zusammenhang mit sinus/cosinus

25.11.2005, 19:35

Heyho

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Hilfe zu der partiellen Integration im Zusammenhang mit sinus/cosinus

Moin

Wink

Ich habe da eine Aufgabe, die ich einfach nicht gelöst bekomme. Und zwar haben wir in der heutigen Stunde, die partielle Integration besprochen, die ich eigentlich auch soweit verstanden haben. Hier nochmal die Formel:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~u(x)\cdot v'(x)~dx = [u(x)\cdot v(x)]_{b}^a - \int_{b}^{a}~u'(x)\cdot v(x)~dx \end{eqnarray*}$

Das ganze soll ich nun mit folgender Aufgabe versuchen:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}~e^{x}\cdot \sin(x)~dx = ? \end{eqnarray*}$

Ich habe so gewählt:

$\begin{eqnarray*} u(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)= e^{x} \end{eqnarray*}$

Allerdings bringt mir das irgendwie nicht wirklich etwas, da so trotzdem noch ein "Restintegral" übrigbleibt. Ich vermute mal, dass man auf den letzten Teil eine 2. partielle Integration anweden muss. Aber irgendwie komme ich da einfach nicht weiter. Mit sinus/cosinus - Funktionen kenne ich mich nämlich leider gar nicht aus. Kann mir bitte mal jemand sagen, wie ich das machen kann?

gruß
Heyho

25.11.2005, 19:38

Mathespezialschüler

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Für das zweite Integral musst du dann nochmal partielle Integration durchführen.

Gruß MSS

25.11.2005, 19:43

Heyho

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Ja das habe ich mir ja auch schon gedacht, aber es bringt mich halt nicht wirklich weiter.

Im 1. Restintegral habe ich ja dann etwas mit cosinus stehen. So zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{x}\cdot \cos (x)~dx \end{eqnarray*}$

Davon kann ich ja keine Stammfunktion finden. Wenn ich aber nochmals die partielle Integration anwende, dann müsste das 2. Restintegral so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~e^{x}\cdot -\sin (x)~dx \end{eqnarray*}$

Und auch dafür kann ich keine Stammfunktion finden. Wo liegt also mein Fehler?

gruß
Heyho

25.11.2005, 19:45

Mathespezialschüler

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Nirgendwo. Schreib das alles erstmal in eine Gleichung!

Gruß MSS

25.11.2005, 19:58

Heyho

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Also im 1. Schritt habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\sin (x)\cdot e^{x}~dx = [e^{x} \cdot \sin (x)]_{b}^a -\int_{b}^{a}~\cos (x)\cdot e^{x}~dx \end{eqnarray*}$

Im 2. dann so:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\sin (x)\cdot e^{x}~dx = [e^{x} \cdot \sin (x)]_{b}^a - [e^{x}\cdot cos (x)]_{b}^a -\int_{b}^{a}~-sin (x)\cdot e^{x}~dx \end{eqnarray*}$

Wo ist der Fehler... traurig

traurig

gruß
Heyho

25.11.2005, 20:00

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Heyho
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\sin (x)\cdot e^{x}~dx = [e^{x} \cdot \sin (x)]_{b}^a - [e^{x}\cdot cos (x)]_{b}^a -\int_{b}^{a}~-sin (x)\cdot e^{x}~dx \end{eqnarray*}$

Klammern setzen!

$\begin{eqnarray*} \int~\sin x\cdot \operatorname e^x~\mathrm dx=\operatorname e^x\cdot\sin x-\left(\operatorname e^x\cdot\cos x-\int~(-\sin x)\cdot \operatorname e^x~\mathrm dx\right) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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25.11.2005, 20:07

Heyho

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Ja du hast natürlich vollkommen Recht, die Klammern darf ich nicht vergessen, aber warum hilft mir das denn jetzt die Stammfunktion von dem letzten Restintegral zu finden?

( Entschuldige meine Begriffsstutzigkeit ^^ )

gruß
Heyho

25.11.2005, 20:12

Mathespezialschüler

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Löse doch erstmal die Klammer mit dem Minus auf!

Gruß MSS

25.11.2005, 20:21

Heyho

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$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\sin (x)\cdot e^{x}~dx = [ ( (e^{x} \cdot \sin (x) )]_{b}^a - ( [e^{x}\cdot cos (x) ) ]_{b}^a) +\int_{b}^{a}~-sin (x)\cdot e^{x}~dx \end{eqnarray*}$

Richtig?

25.11.2005, 20:22

Mathespezialschüler

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Ja, da steht also

$\begin{eqnarray*} \int~\sin x\cdot \operatorname e^x~\mathrm dx=\operatorname e^x\cdot\sin x-\operatorname e^x\cdot\cos x-\int~\sin x\cdot \operatorname e^x~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Setze mal $\begin{eqnarray*} c=\int~\sin x\cdot \operatorname e^x~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ , dann ist die obige Gleichung dasselbe wie

$\begin{eqnarray*} c=\operatorname e^x\cdot\sin x-\operatorname e^x\cdot\cos x-c \end{eqnarray*}$ .

Was ist dann wohl $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

25.11.2005, 20:23

derkoch

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zieh noch das minus aus dem integral davor! dann steht die lösung praktisch schon da!

25.11.2005, 20:32

Heyho

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Naja also:

$\begin{eqnarray*} \frac{[ ( (e^{x} \cdot \sin (x) )]_{b}^a - ( [e^{x}\cdot cos (x) ) ]_{b}^a)}{2} = c \end{eqnarray*}$

müsste c sein.

Wenn das so richtig ist, wäre die Sache natürlich klar... smile

smile

gruß
Heyho

25.11.2005, 20:41

Mathespezialschüler

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Ja, das ist korrekt! Freude

Freude

Gruß MSS

25.11.2005, 20:54

Heyho

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So 2 Fragen habe ich noch:

Geht das mit dem vorziehen wirklich so einfach, also gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~-\cos (x)~dx = -\int_{b}^{a}~\cos (x)~dx \end{eqnarray*}$

Und dann 2. Frage, nur nochmal abschließend:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}~e^{x}\cdot \sin(x)~dx = \frac{[e^{x} \cdot \sin (x)]_{1}^2 - [e^{x}\cdot cos (x)]_{1}^2}{2} \end{eqnarray*}$

Richtig?

gruß
Heyho

25.11.2005, 20:56

Mathespezialschüler

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Ja, natürlich geht das mit dem Vorzeichen so. Das zweite ist auch richtig.

Gruß MSS

25.11.2005, 20:58

Heyho

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Mathespezialschüler und derkoch: Mit Zunge

Mit Zunge

Vielen Dank für eure Mühe!

gruß
Heyho

25.11.2005, 20:59

Mathespezialschüler

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Bitte bitte! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

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