Grad [L:Fp]

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nixverstehen Auf diesen Beitrag antworten »
Grad [L:Fp]
guten abend zusammen!
traurig muss bis morgen die aufgabe lösen.........! kann mir jemand helfen?
M ist ein Zerfällungskörper des Polynoms t^3 - 2 über Fp (Fp=Z/pZ, p Primzahl). Man soll den Grad [M:Fp] bestimmen für p=2,3 und 7!
Hilfe Hilfe Hilfe
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Um den Grad der Körpererweiterung zu ermitteln musst du natürlich wissen,
wie M aussieht. Dazu musst du die Nullstellen von t^3-2 bestimmen.

Ich zeigs die mal für den Fall p=3 :

t^3-2 = t^3 + 1 = (t-1) * (t^2-t+1) = (t-1)*(t^2+2*t+1) = (t-1)^3

Das Polynom hat also eine 3fache Nullstelle, und alle liegen schon in F.
Damit kann der Grad der Körpererweiterung nur 1 sein.
(Grad der Körpererweiterung = Grad des Minimalpolynoms)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da sind ein paar Vorzeichen durcheinandergeraten:



Ändert natürlich nichts an der finalen Aussage. Augenzwinkern
nixverstehen Auf diesen Beitrag antworten »

ich habs nicht verstanden wieslo t^3 - 2 = t^3 + 1 ist!!??
heißt es dann für
für p=2: t^3 - 2 = t^3 + 0 ??
für p=7: t^3 - 2 = t^3 + 5

wenn es so ist: dann hat das Polynom bei p=2 dreifache Nullstelle. und wie rechne ichs bei p=7??? verwirrt
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, danke Arthur.

@nixverstehen:

, in ist also -2 das selbe wie -2+3 = 1.
(soviel solltest du aber schon wissen)

Den Fall p=2 hast du richtig erkannt.

Für p=7: Hat das Polynom Nullstellen int ?
(einfach alle Möglichkeiten druchprobieren)
Wenn nicht kannst du wie gesagt den Grad der Körpererweiterung am Grad des Minimalpolynoms ablesen.
nixverstehen Auf diesen Beitrag antworten »

ok, t^3 + 5 = (t - (dritte wurzel aus -5)^3)
da die nullstellen nicht in F liegen, ist der Grad der Körpererweiterung ungleich 1.
Das Minimalpolynom für t = dritte wurzel aus -5 ist t^3 +5 , somit ist Grad der Körpererweiterung = 3.
Stimmt es so??
 
 
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Teilweise.

" t^3 + 5 = (t - (dritte wurzel aus -5)^3)" ist keine Gleichung, also ordentlicher aufschreiben!

Woher genau weißt du das nicht in F liegt? Auch das noch ordentlich formulieren.

Ansonsten ist das Ergebnis richtig.
nixverstehen Auf diesen Beitrag antworten »

statt "t^3 + 5 = (t - (dritte wurzel aus -5)^3)" hab ich
t^3 + 5 = (t - (dritte wurzel aus -5))^3"

woher ich weiß dass dritte wurzel aus -5 nicht in F liegt? Also ich dachte in F liegen nur ganze Zahlen: 0,1,2,3,4,5 und 6 (für p=7)! Stimmt es nicht??
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

" t^3 + 5 = (t - (dritte wurzel aus -5))^3" .. so funktioniert das nicht.
(Versuch doch mal daraus die wahre Aussage 0=0 abzuleiten, es wird dir nicht gelingen.)

Tipp: Das Minimalpolynom ist ein Nullstellengebilde, du kannst also t^3 + 5 = 0 schreiben. Diese Gleichung kannst du jetzt umformen.

"Also ich dachte in F liegen nur ganze Zahlen: 0,1,2,3,4,5 und 6 (für p=7)! Stimmt es nicht??"

Das ist richtig, aber nur weil du nicht sagen kannst was in ist, heißt das nicht das das Polynom keine Nullstelle in besitzt.

Was machst du z.B. mit t^3+2 = 0 über ?
Umgeformt ergibt das t^3 = - 2 und
Tja das ist irgendwie nicht definiert, trotzdem hat das Polynom eine Nullstelle in nämlich 1.

Gehe lieber so vor wie ich es schonmal vorgeschlagen habe. Teste für alle Elemente aus ob sie Nullstellen des Polynoms sind. Ist das für kein Element der Fall, muss das Polynom ein Minimalpolynom sein für ein Element sein das nicht in liegt.
nixverstehen Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das hab ich schon überprüft (mit Polynomdivision)
=> 0,1,....,6 sind keine Nullstellen von t^3 + 5
daraus kann man doch folgen, dass dritte wurzel aus -5 nicht in F liegt, oder?
also t^3 + 5 ist ein Minimalpolynom für ein Element t=dritte wurzel aus -5. Da dieses Element (Nullstelle) nicht in F liegt, folgt dass der Grad der Kö.erweiterung!

oder versteh ich das wieder falsch!
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ist ok so. Nur eins noch, die Nullstellen mit Polynomdivision zu testen ist viel zu aufwendig. Einsetzen reicht auch.
nixverstehen Auf diesen Beitrag antworten »

ok, alles klar
danke noch mal für deine Hilfe!!
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