Schiefe der Exponentialverteilung

26.11.2005, 00:19	Elwetritsch	Auf diesen Beitrag antworten »
Schiefe der Exponentialverteilung Hallo, einmal angenommen ich wollte die Schiefe der Exponentialverteilung (Parameter: $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ) berechnen. Dann sehe mein Ansatz so aus: $\begin{eqnarray} \gamma={{\mu_3}\over{\mu_2^{3\over2}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu_2 \end{eqnarray}$ ist einfach: $\begin{eqnarray} \mu_2=V(X)={1\over\lambda^2} \end{eqnarray}$ Aber bei $\begin{eqnarray} \mu_3 \end{eqnarray}$ komme ich auf soetwas: $\begin{eqnarray} \mu_3=E[(x-E(x))^3]=E[(x-{1\over\lambda})^3]=\int_{-\infty}^{+\infty} {(x-{1\over\lambda})^3 \lambda e^{-\lambda x}} \end{eqnarray*}$ Könnte mir jemand - bevor ich mich mit diesem Integral anlege - sagen, ob der Ansatz in die richtige Richtung geht oder mich andernfalls etwas in eben diese schubsen? Dank Wikipedia weiß ich übrigens schon das Ergebnis: 2. Aber wie komme ich da hin? Habe das Integral schon einmal von dem Online-Integrator lösen lassen, kann dann aber auch nicht so kürzen, dass 2 rauskommt Danke für jeden Hinweis.
26.11.2005, 10:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis zur Stelle $\begin{eqnarray} \mu_3 = E\left[ \left( X-E(X) \right)^3 \right] = E\left[ \left( X-\frac{1}{\lambda} \right)^3 \right] \end{eqnarray}$ ist alles richtig, abgesehen davon, dass du die Zufallsgröße wirklich als $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und nicht als $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ schreiben solltest (da stecken hoffentlich nur Nachlässigkeit und keine Verständnisschwierigkeiten hinter der falschen Schreibweise?). Aber dann hast du die Exponentialverteilung falsch eingesetzt, die ist nämlich nur auf der positiven Achse konzentriert. Also geht es mit $\begin{eqnarray} \mu_3 = \int\limits_0^{\infty} ~ \left( x-\frac{1}{\lambda} \right)^3 \cdot \lambda e^{-\lambda x} ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ weiter.
26.11.2005, 13:17	Elwetritsch	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Arthur Dent, das war genau der richtige Hinweis. $\begin{eqnarray} {\left [ -{{E^{-\lambda x} (2+3 \lambda x +\lambda^3 x^3)}\over{\lambda^3}} \right ]}_{0}^{\infty}=0-{-2 \over \lambda^3}={2 \over \lambda^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma={{2 \over \lambda^3}\over({1 \over \lambda^2})^{3 \over 2}}={{2 \over \lambda^3}\over{1 \over \lambda^3}}=2 \end{eqnarray}$ Jetzt fehlt mir "nur" noch die händische Lösung des Integrals, die Stammfunktion oben stammt nämlich aus dem Online-Integrator. Da rächt es sich, wenn man Integrale seit drei Semestern nur noch numerisch bearbeiten musste ... (Wegen der Schreibweise: Da nur X vorkommt, war ich nachlässig. Bei so Sachen wie P(X<x) passe ich da natürlich mehr auf - zumindest meistens. )

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