Einige Aufgaben zu Eigenschaften von Folgen

26.11.2005, 12:08

L.i.t.t.l.e.

Einige Aufgaben zu Eigenschaften von Folgen

Hi,

wir schreiben demnächst Mathe. Rechne deswegen auch viele Aufgaben aus dem Buch.
Allerdings gibt es da immer wieder Aufgaben, bei denen ich nicht ganz weiterkomm.
Wäre super, wenn ihr mir dabei helfen könntet.

Aufgabe 1)

$\begin{eqnarray*} an = a^{ \frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

mit a > 1

Da an monoton fallend, ist die obere Schranke a1 = a.
Untere Schranke vermutlich 1. Das heißt:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq a^{ \frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

Und wie kann ich das nun auflösen??

Aufgabe 2)

$\begin{eqnarray*} an = \frac{2^{n+1}}{2^{n}+1} \end{eqnarray*}$

Wie krieg ich den Grenzwert raus? Kann man da irgendwie die Grenzwertsätze anwenden?

Aufgabe 3)

$\begin{eqnarray*} an = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Beschränktheit:
Vemutete unter Schranke: 0. Also:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{0,5} * 1^{0,5} - n^{0,5} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{0,5} * 1^{0,5} \geq n^{0,5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1^{0,5}=1 \geq 1 \end{eqnarray*}$

Gut, die Ungleichung geht nun auf. Aber wenn ich jetzt 0 nicht als untere Schranke sondern als obere Schranke angesehen hätte, und "kleiner gleich" eingesetzt hätte, wäre die Ungleichung doch auch aufgegangen, oder?
Wo ist da der Fehler??

Aufgabe 4)

Gleiche Folge wie in 3!

Und wie krieg ich bei dieser Folge den Grenzwert raus? Klar, in den Taschenrechner eintippen. Aber mir geht es jetzt immer um die mathematische Methode und Schreibweise.

Hoffe ihr könnt mir Antworten auf meine Fragen geben. Es werden sicher noch mehr Fragen kommen. Tanzen

26.11.2005, 12:24

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Zitat:

Original von L.i.t.t.l.e.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{0,5} * 1^{0,5} - n^{0,5} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Soll das eine Umformung sein? geschockt

Zur Grenzwertbestimmung hilft wie so oft der Trick mit der binomischen Formel $\begin{eqnarray*} a^2-b^2=(a-b)(a+b) \end{eqnarray*}$ , hier mit $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

26.11.2005, 12:34

sqrt(2)

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RE: Einige Aufgaben zu Eigenschaften von Folgen

Zitat:

Original von L.i.t.t.l.e.
$\begin{eqnarray*} 1 \leq a^{ \frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

Und wie kann ich das nun auflösen??

Zum Beweis der Schranke? Dann kannst du, da beide Seiten positiv sind und die Potenzfunktion stetig ist, beide Seiten hoch n nehmen.

Zitat:

Original von L.i.t.t.l.e.
$\begin{eqnarray*} an = \frac{2^{n+1}}{2^{n}+1} \end{eqnarray*}$

Wie krieg ich den Grenzwert raus? Kann man da irgendwie die Grenzwertsätze anwenden?

Du kannst $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{2^n} \end{eqnarray*}$ ausklammern. Wenn du ganz formal bist, brauchst du danach nochmal die Grenzwertsätze, aber das wird wohl eher nicht erwartet.

26.11.2005, 14:12

L.i.t.t.l.e.

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von L.i.t.t.l.e.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{0,5} * 1^{0,5} - n^{0,5} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Soll das eine Umformung sein? geschockt

Ja, was ist an der Umformung falsch?
Hab ich irgendein Gesetz falsch angewendet?

Hab jetzt die untere Schranke so bewiesen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) * (\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) \geq 0 * (\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n+1 - n \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} an = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) * (\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) }{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1-1}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) } \end{eqnarray*}$
--> Nullfolge

Ist so alles richtig?

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