Basis? |
| 26.11.2005, 17:26 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Basis? Kann mir jemand erklären was ich genau unter einer Basis zu verstehen habe? Und wie ich bei Vektoren zeigen kann, dass sie Linear abhängig sind? Hier zum Beispiel zwei Aufgaben dazu, bei denen ich gar nicht weiß wie ich anfangen soll! Ich konnte nämlich leider nicht diese Woche zu den Vorlesungen gehen, da ich im Krankenhaus gelegen habe! Ich habe mir zwar alles dazu im Skript durchgelesen, aber nicht so wirklich verstanden! Ich hoffe mir kann jemand helfen!! Danke schon mal im Vorraus! Also: 1.V sei ein Vektorraum über Q. Seien w,x,y,z el. V. a) Zeigen sie: Die Vektoren v1= w+x+y+z, v2= 2w+2x+y-z, v3= w+x+3y-z, v4= w-y+x sind linear abhängig. b) Unter welcher Bedingung an w,x,y,z sind schon v1,...,v4 linear abhängig? 2. Bestimmen sie eine Basis und die Dimension des von a) (1,0,2,3),(0,1,-1,1),(2,1,3,7),(0,1,2,3) erzeugten Untervektorraums von IR^4, b)(1,0,1),(i,1,0),(i,2,1-i) erzeugten Untervektorraums von C^3, c) (1,0,2),(2,1,0),(0,1,2) erzeugten Untervektorraums von K^3, wobei K ein Körper mit drei Elementen ist. Also das waren die Aufgaben! Also dass das nicht jemand falsch versteht ich möchte nicht das mir jemand die Aufgaben löst, sondern mir jemand erklärt was Basen sind und wie ich Linear abhängig überprüfen kann! Ich möchte die Aufgaben selbst lösen brauche aber dabei Hilfe! Hoffe mir kann jemand helfen! 
Vielleicht findet sich ja jemand der die so zu sagen mit mir zusammen löst! 
Vielen Dank! 
lg Benne |
||||||||
| 26.11.2005, 18:05 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hast du schon die boardsuche betätigt? da findet sich viel zu dem thema weißt du, was "erzeugen" heißt? sagen dir "inearkombinationen" etwas? weißt du nur nicht, wie man lin. (un)abh. berechnet, oder weißt du gar nicht, was lin. (un)abh. heißt? |
||||||||
| 26.11.2005, 18:14 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
habe ich schon betätigt, aber nicht so wirklich was erleuchtendes gefunden!! 
Was erzeugen heißt weiß ich leider nicht, aber Linearkombinationen sagt mir schon etwas! w= a1v1+.....+anvn ist doch z.B Linearkombination! Oder? Ich weiß nicht, wie man l.a. berechnet und was das ist! Hoffe du kannst mir helfen!!
|
||||||||
| 26.11.2005, 18:39 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
okay: also das erzeugnis einer vektormenge ist die menge aller linearkombinationen aus diesen vektoren; es ist wieder ein vektorraum man schreibt es gerne: < {.....} > z.b. im IR^3 ist das erzeugnis von {(1/0/0), (0/0/1)} der unterraum vom IR^3, dessen vektoren die form (a/b/0) haben (also praktisch die x1-x2-ebene) man spricht bei einer teilmenge eines vektorraums V von einem erzeugendensystem von V, wenn ihr erzeugnis ganz V ist z.b. ist {(1/0/0), (0/1/0), (0/0/1)} ein ES vom IR^3, denn jeder vektor kann daraus linearkombiniert werden. bis hierhin klar? eine basis ist dann ein MINIMALES erzeugendensystem, dazu mehr, wenn du sagst, dass dir bis dato aller verständlich ist., |
||||||||
| 27.11.2005, 17:20 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja bis hier hin ist alles verständlich! Danke schon mal!
|
||||||||
| 27.11.2005, 17:33 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
okay dann klären wir zunächst die lineare (un)abhängigkeit du kennst sicher in anschaulichen vektorräumen wie dem IR^2, IR^3 so aussagen wie: im IR^3 sind vektoren dann linear abhängig, wenn sie in einer ebene liegen etc. das ist aber nur für anschauung gut, allgemein ist lin. abh. so definiert: eine vektormenge {x1,...,xn} heißt dann linear abhängig, wenn ich den nullvektor durch eine ECHTE linearkombination von ihnen darstellen kann [echt heißt in dem zusammenhang NICHT JEDEN vektor 0 mal nehmen] diese aussage ist äquivalent zu: {x1,...,xn} linear unabhängig <=> [a1*x1+....+an*xn=0 [nullvektor] => ai sind alle 0 (also die 0 aus dem körper, denn die ai sind SKALARE der linerkombination der xi)] das bedeutet eben, die 0 ist nur TRIVIAL linearkombinierbar einfache beispiele wieder aus dem IR^3: {(1/0/0),(0/1/0)} ist linear unabhängig, denn aus a*(1/0/0)+b(0/1/0)=(0/0/0) folgt (nachdenken warum!) a=b=0 {(1/0/0),(2/0/0),(17/24/245)} ist linear ABHÄNGIG, denn z.b 2*(1/0/0)-1*(2/0/0)=(0/0/0) ist eine nichttriviale linearkombination der 0 du siehst gleich: wenn du zu einer linear abh. menge noch einen vektor dazutust ((17/24/245)), bleibt die menge natürlich linear abhängig, denn die nichttriviale linearkombination bleibt ja erhalten! eine linear unabh. menge kann durch zufügen eines vektors natürlich linear abh. gemacht werden (selbst mal konstruieren!) drittest beispiel ist eine knobelaufgabe für dich: was gilt für vektormengen, die den Nullvektor selbst enthalten? |
||||||||
| Anzeige | ||||||||
|
|
||||||||
| 27.11.2005, 19:54 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wenn die Vektormenge den Nullvektor selbst enthält, dürfte es doch eigentlich l.a. sein! Oder? hier ein Beispiel: (1/0/0), (0/0/0) a*(1/0/0)+ b* (0/0/0)= (0/0/0) also müsste a= 0 sein und b egal! Oder? Ist das dann eine echte Linearkombination? Und somit l.a.? Du erklärst das echt gut! Bin dir sehr dankbar!
|
||||||||
| 27.11.2005, 20:02 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
jopp. suopi! menge, die den nullvektor enthalten sind IMMER linear abhängig. insb. ist {0} die kleinste linear abh. menge! wie du l.a. zeigst bzw. widerlegst sollte nun auch klar sein; in euren fällen werden die vektoren meistens aus dem IR^n sein, so dass das ganze nach aufstellen einer allgemeinen linearkomb. der vektoren auf ein homogenes gleichungssystem rausläuft du musst dann eben prüfen, ob das außer alle koeff.=0 noch (eine) weitere lösungen hat also LGS lösen sagen dir determinanten schon etwas? auch merkenswert ist folgendes: in einem vektorraum mit dimension n, sind vektormengen, die mehr als n elemente enthalten automatisch linear abh.! also z.b. {x1,x2,x3,x4} im IR^3 ist lin. abh. zurück zur basis: du weißt jetzt, was ein erzeugendensystemvon V ist; wenn dieses zusätzlich minimal ist, d.h. linear UNabhängig, dann ist es sogar eine basis von V also: Basis ist ein l.unabh. erzeugendensystem BSP im IR^2: {(1/0)} ist l.u., aber erzeugt nicht den IR^2 {(1/0),(2/0),(1/1)} erzeugt den ganzen IR^2, ist aber linear abhängig {(1/0),(0/1)} nennt man die STANDARDBASIS des IR^2, dass sie die eigenschaften einer basis hat, solltest du mal selbst nachprüfen {(1/1),(2/1)} ist auch eine basis vom IR^2 dimension eines vektorraums ist übrigens die (von der wahl der basis unabhängig) FESTE anzahl der basisvektoren also dim(IR^2)=2, weil in jeder möglichen basis des IR^2 genau 2 vektoren stecken merke auch: hat dein VRm dimension n, dann bilden n linear unabh. vektoren automatisch eine basis! |
||||||||
| 27.11.2005, 20:43 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ne determinaten noch nie gehört! Also was du alles so geschrieben hast, verstehe ich es fast! Aber ich habe da noch eine grundsätzliche Frage und zwar: Wenn ich jetzt {(1/0),(2/0),(1/1)} habe und ich soll gucken ob das eine Basis ist! Dann schaue ich doch erst mal,ob es l.u. ist! Oder? Also bei diesem Beispiel würde es doch dann reichen, wenn ich nur die ersten beiden darauf untersuche! Oder? Also: a*(1/0)+b*(2/0)=0 dann wäre es a*1+a*0+b*2+b*0=0 Oder? Schreibt man das so auf? also: a*1+b*2=0 also wären diese beiden l.a.? a und b können doch beliebige Zahlen sein. Oder? Also auch negative? Aber warum sagt man denn dann: a*1+b*1=0 dass a=b=0 ist? a könnte doch auch 1 sein und b -1! Dann käme doch auch null raus? Oder geht das nicht? So dann zum Erzeugendensystem: wenn ich hier gucken soll,ob R^2 erzeugt wird, wie muss ich da genau vorgehen? Vielleicht: wenn in diesem Fall a*1+b*2=0 rauskommt,müssen die Vektoren die Form: (a/b/0) haben? habe ich das richtig verstanden? |
||||||||
| 27.11.2005, 20:53 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
achtOng! fehler! beachte, dass das 0 auf der rechten seite der (0/0)-vektor ist. du bekommst 2 gleichungen! nach jeder komponente eine! a*(1/0)+b(2/0)=(0/0) <=> a*1+b*2=0 a*0+b*0=0 und das ist ein LGS mit nichttrivialer lösung a=2, b=-1 z.b.
(a/b/0) liegt doch nicht im IR^2? allgemein musst du einen beliebigen vektor (x/y) hernehmen und zeigen, dass der im erzeugnis liegt, d.h. eine lin.komb. darstellt (oft sinnvoll: versuche dafür erst mal die standardbasis des IR^2 zu "basteln", rest ist dann leicht) sei z.b. {(1/0),(2/0),(1/1)} auf erzeugendensystem zu testen es gilt: (1/0)=1*(1/0), (0/1)=(1/1)-(1/0), also standardbasis liegt im erzeugnis dann liegen auch alle vektoren drin, die sich aus der standardbasis erzeugen lassen! (klarmachen) als BSP noch mal vorgerechnet: (x/y) bel. vektor in IR^2 (x/y)=x*(1/0)+y*(0/1) [hier siehst du, warum standardbasis!] => (x/y)=x*[1*(1/0)]+y*[(1/1)-(1/0)]=......... nachrechnen, linkomb. von (1/0) und (1/1) alles klar? übrigens: wenn du auf basis prüfen sollst, reicht natürlich EINE verletzte bedingung, um sagen zu können, dass es keine ist |
||||||||
| 27.11.2005, 21:21 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok, mit der linearen Abhängigkeit habe ich es jetzt verstanden! 
Zitat: sei z.b. {(1/0),(2/0),(1/1)} auf erzeugendensystem zu testen es gilt: (1/0)=1*(1/0), (0/1)=(1/1)-(1/0), also standardbasis liegt im erzeugnis dann liegen auch alle vektoren drin, die sich aus der standardbasis erzeugen lassen! (klarmachen) ok, dass sich (1/0) und (1/1) zur Standardbasis umwandeln lassen verstehe ich! d.h. dann also, dass ich (2/0) aus 2*(1/0) erzeugen kann oder? Dann liegt (2/0) doch auch im erzeugnis oder? Verstehe ich das so richtig! Dann zu der anderen Sache: => (x/y)=x*[1*(1/0)]+y*[(1/1)-(1/0)]=......... nachrechnen, linkomb. von (1/0) und (1/1) wenn ich das jetzt weiter umforme, muss was da nachher rauskommen? Ich habe das jetzt so versucht: = x*[1*(1/0)]+y*[(1/1)-(1/0)] = x*(1/0)+y*(1/1)-y*(1/0) ist das so richtig? Oder wie? |
||||||||
| 27.11.2005, 21:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wenn du etwas sicherer bist im umgang, dann weißt du einfach: wenn eine basis (bzw. ein erzeugendensystem) teil ds erzeugnisses ist, dann muss das erzeugnis einfach schon der ganze VRm sein das darfst du dir aber selbst überlegen!
das ist natürlich nicht sooo eine große sache, ist natürlich richtig
damit insbesonder: (x/y)=[x-y]*(1/0)+y*(1/1), also ist der beliebige vektor (x/y) im erzeugnis deiner vektormenge => diese ist ein erzeugendensystem |
||||||||
| 27.11.2005, 21:41 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
oki doki! Super dass du mir das alles so schön erklärst! jetzt bin auf jeden Fall schon ein riesiges Stück weiter!
ok um das gerade gelernte jetzt mal anzuwenden: Wenn ich die folgende Aufgabe habe: Ergänzen Sie v1=(1,1,0,1) und v2=(1,1,2,0) zu einer Basis von IR^4. Dann muss ich doch einen der Vektoren ändern, damit es erst mal schon einmal l.u. ist! Oder? und wie müsste ich das jetzt bei meiner Aufgabe 1 machen? Da stehen ja die Vektoren als Addition und nicht in der "normalen Form"! |
||||||||
| 27.11.2005, 21:56 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Basis?
stelle eine allgemeine linearkombination auf zeige, dass du eben nichttriviale koeffizienten finden kannst, so dass...... dabei müssen sich ja nur alle w,x,y,z wegheben so dass 0 dasteht
nix verändern, nur ergänzen, die sind doch schon l.u. ! beachte: der IR^4 hat dim 4, das bedeutet, deine basis muss nachher 4 elemente haben gleichzeitig ist jede linear unabhängige menge mit 4 elementen eine basis also einfach noh 2 vektoren finden, so dass die menge l.u. bleibt |
||||||||
| 27.11.2005, 22:43 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Basis? also sähe das so aus: a*v1+b*v2+c*v3... => a*(w+x+y+z)+b*(2w+2x+y-z)+... so oder wie? was heißt denn in der Aufgabe 2 EINE Basis? Soll ich da einfach nur prüfen,ob das eine Basis ist oder was? |
||||||||
| 28.11.2005, 01:22 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nicht "=>", sondern "=" ! nein, du sollst nicht (in erster lineie) prüfen, ob das eine basis ist die vektoren spannen etwas auf, sie erzeugen etwas, das hatten wir ja oben sie sind also ein erzeugendensystem ihres erzeugnisses (nicht großartig diese aussage....) das erzeugnis ist ja ein raum und von dem sollst du eine basis bestimmen tipp: basis kannst du bestimmen, indem du solange vektoren aus der menge nimmst, die aus anderen lineakombinierbar sind dadurch ändert sich das erzeugnis nicht sobald sie l.u. sind, ist das deine basis die anzahl der basisvekt. ist dann deine dimension |
||||||||
| 28.11.2005, 12:41 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
a*v1+b*v2+c*v3... = a*(w+x+y+z)+b*(2w+2x+y-z)+... geht das dann so weiter: a*w+b*2w+c*w+d*0+e*w=0 a*x+b*2x+c*x+d*(-x)+e*x=0 ..... und dann? wie löse ich das denn auf? tipp: basis kannst du bestimmen, indem du solange vektoren aus der menge nimmst, die aus anderen lineakombinierbar sind => ich weiß leider nicht was du da mit meinst! 
|
||||||||
| 28.11.2005, 16:55 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sehr interessanter thread, der mal alles zusammenfast, was ich auch gerade so habe. Hab aber auch noch ne Frage dazu... wenn ich drei lin.un. Vektoren aus dem IR3 habe und die Einheitsvektoren als Linearkombinationen der drei Vektoren darstellen kann, kann ich dann davon ausgehen, dass ich eine Basis habe ( mal abgesehen davon, dass 3 lin.un. Vektoren im IR3 immer eine Basis bilden... )? achso... - zu dem Tipp, den du nicht verstehst: denk nochmal daran, dass eine Basis ja ein Erzeugendensystem (EZS) ist, dass aus linear unabhängigen Vektoren besteht! Warum? - weil, wenn du einen Vektor wegnimmst ist es zwar noch linear unabhängig, aber kein Erzeugendensystem mehr. (Bsp. (1/0/0),(0/1/0),(0/0/1) sind Basis des IR3 - wenn du sagen wir mal die (0/0/1) wegnimmst - wie willst du dann z.B. (0/0/5) als Linearkombination darstellen? - die beiden übrigen Vektoren "erzeugen" also nicht mehr den IR3). wenn du einen Vektor dazupackst ist das ganze noch ein EZS aber nicht mehr linear unabhängig... - weil wenn schon 3 Vektoren ausreichen um alle anderen Vektoren darzustellen, kannst du schwer einen vierten Vektor finden, der zu den anderen auch noch linear unabhängig ist. so also gilt erstmal, dass eine Basis ein EZS ist, dass aus linear unabhängigen Vektoren besteht... wenn du jetzt ein EZS hast, musst du also nur alle Vektoren rausstreichen, die irgendwie eine Linearkombination der anderen sind ( also so viele rausstreichen, dass nur noch linear unabhängige Vektoren in deinem EZS sind ) und dann hast du eine Basis! |
||||||||
| 28.11.2005, 19:17 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
NEIN, hier ist es tatsächlich nur EINE gleichung aw+ax+ay+az+2bw+2bx+......=0
ich formulier mal um, damit man "von nix absehen muss" wenn du eine vektormenge X hast (du weißt nicht, ob sie l.u. oder EZS sind), und du findest irgendeine vektormenge Y, die im erzeugnis von X liegt, so ist das erzeugnis von Y ein teilraum vom erzeugnis von X. klarmachen! und dann überlegen, was das heißt, wenn die standardbasis (irgendeine basis!) im erzeugnis liegt.... |
||||||||
| 28.11.2005, 20:01 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also weil ich die Einheitsvektoren als Linearkombination meiner 3 Vektoren darstellen kann liegt das Erzeugnis der Einheitsvektoren ( der IR3 ) im Erzeugnis meiner Vektoren. ( IR3 oder größer... ) - richtig? |
||||||||
| 28.11.2005, 20:53 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
naja und das "größer" kannst du dir in dem fall natürlich schenken! auch klar, wieso? |
||||||||
| 29.11.2005, 20:22 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aw+ax+ay+az+2bw+2bx+......=0 und wie geht das dann weiter? Soll ich dann x,y,w,z ausklammern oder was? Habe glaub ich im Moment ein Brett vor dem Kopf! 
edit: Was ist die Standardbasis von IR^4? (0/1/0/1) (1/0/1/0) (0/1/1/0) (1/0/0/1) Ist sie das? |
||||||||
| 29.11.2005, 21:34 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
kann mir keiner helfen? |
||||||||
| 29.11.2005, 21:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
he da, benne. etwas zu ungeduldig, oder?
soche pushposts unterlassen!
wie kommst du dadrauf? das ist nicht mal eine basis! standardbasis besteht immer aus den vektoren, die an einer stelle 1 haben sonst 0
nicht fragen! versuchen! |
||||||||
| 29.11.2005, 22:00 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sorry! Achso, dass mit der Standardbasis wusste ich nicht! Danke!!
Ich habe das probiert, dann steht bei mir so etwas: w*(a+2b+c+e)+x*(a+2b+c-d+e)+y*(a+2-3c+d-e)+z*(a-5-d)=0 und was kann ich jetzt daraus schließen? Oder kann ich das noch weiter umformen? |
||||||||
| 29.11.2005, 22:03 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
naja, es ging ja darum a,b,c,d zu finden, die das ganze lösen, die nicht alle 0 sind darum gehts immer noch! bzw. um das zeigen deren existenz! is ja jetzt wieder ein LGS
da sind auf jeden fall noch fehler...... solche konstanten dürfen da nicht drin stehen! |
||||||||
| 29.11.2005, 22:10 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das verstehe ich nicht! Wie soll das denn funktionieren? Bitte hilf mir! Nur einen kleinen Denkanstoss! Habe echt ein Brett vor dem Kopf!
Zerbreche mir schon tagelang meinen Kopf darüber!
|
||||||||
| 29.11.2005, 22:14 | benne78 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hat der Vektorraum nicht dim-4? Und wenn er dann 5 Vektoren hat,ist er dann nicht sowieso l.a? Stimmt das? |
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
