Eigenwert

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Joda Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert
Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Seien mit AB = BA. Zeigen Sie, dass jeder Eigenraum zum Eigenwert von A und B invariant ist:
Wenn gilt, dann auch
[/mimetex]

Danke
mountainflower Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Joda,

bei Deinem Problem kann ich Dir wahrscheinlich helfen, allerdings ist mir nicht ganz klar, was Du eigentlich zeigen musst. Ich versuch Deine Aufgabe nochmal zu formulieren. Mal schauen, ob ich mit dem Formeleditor zurecht komme... :-) Gegeben ist folgendes:

, wobei IC das "blackboard bold"-C der komplexen Zahlen darstellen soll. Ausserdem gilt AB = BA, und ist der Eigenraum zum Eigenwert , wobei Eigenwert von A und von B.

(Das ist mir nicht ganz klar aus Deinem Text: Ist Eigenwert von A und B oder nur von A oder B, oder wie?)

Zu zeigen ist: Der Eigenraum ist unter A und B invariant.

Stimmt das alles so?

Gruss,
mountainflower
Joda Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja das stimmt soweit.
Das erhällst du mit \calC im Formeleditor! smile

Kannst Du mir vielleicht mal erklären was genau der Eigenwert bringt bzw. ist?
Das ganze ist mir nicht wirklich klar...
mountainflower Auf diesen Beitrag antworten »

Danke fuer den Tipp mit dem C. Muss ich wohl uebersehen haben vorhin...


Was ein Eigenwert bringt... Hmm... Ein ehemaliger Mathelehrer von mir hat mir beigebracht, dass man einen Mathematiker nie fragen soll, wofuer man etwas brauchen kann. Natuerlich hat er damit nur gemeint, dass man das im Gymi nicht fragen soll, weil man die Antwort eh nicht kapieren wuerde... :-) Aber dennoch hab ich nie damit angefangen, danach zu fragen. Ich kann aber trotzdem mal versuchen einige Anwendungen aufzuzeigen:

Eine wichtige ist wohl die Diagonalisierung von Matrizen, bei der man eine Matrix rauskriegt, auf deren Diagonalen nur noch die Eigenwerte stehen.

Eine Anwendung aus der Physik waere zum Beispiel die Beschreibung von Schwingungen. Diese lassen sich als Linearkombinationen von Eigenschwingungen (also einer Art Eigenvektoren) schreiben.

In der Quantenmechanik werden Eigenwerte ebenfalls oft gebraucht, zum Beispiel um Zustaende zu bestimmen. Die Schroedingergleichung (die dazu verwendet wird) ist eine der wichtigsten Eigenwertgleichungen in der Physik.


Ich hoffe, das war etwa das, was Du Dir als Antwort vorgestellt hast.



Zu Deinem Problem, wie Du das mit der Invarianz zeigen musst:

Du startest am besten mit der Gleichung, die den Eigenvektor zu einem Eigenwert von A definiert: . Um zu zeigen, dass Bv ebenfalls ein Eigenvektor zu ist, musst Du zeigen, dass gilt: . Nun brauchst Du einfach mit der ersten der beiden Formeln anzufangen und die dann mit den gegebenen Infos auf die zweite umzuformen. Wenn du moechtest, kann ich Dir das vorrechnen, aber es ist nicht so schwierig und nur eine kurze Rechnung. Deshalb versuche ich nicht zu viel zu verraten, damit Du selber ausprobieren kannst.
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der QM kenne ich Eigentwerte als (mögliche) Messergebnisse von den zugehörigen Operatoren. Aber kannst du der Zusammenhang mit Schwingungen noch einmal klar machen? Was ist da der (Abbildungs-)Operator und was bedeuted dessen Eigenwert?
CalcDesaster Auf diesen Beitrag antworten »

Anschaulich kannst dir Eigenvektoren als die vorstellen, die durch die Anwendung er Operation (Matrix) nicht in ihrer Richtung verändert werden. Der dazughörige Eigenwert gibt die Streckung/Stauchung des Vektors nach der Operation.
Es gilt ja

In der Schwingungslehre sind das die Eigenschwingungen des Systems.
 
 
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir schon klar. Übrigens: Mit Richtung und Länge hat das nicht immer etwas zu tun. Vektoren in der QM haben keine "Richtung" und Operatoren sind nicht einfach Matrizzen, deren Eigenwerte haben auch mit Längen(-Änderungen) nichts zu tun. Es gibt zwar eine Matrixdarstellung, diese ist aber eher unhandlich.
Erklär mir bitte mal anhand eines Beispiels was die Eigenschwingungen (die man z.B. aus der Fourieranalyse kennt) mit dem klassischen Eigenwertproblem zu tun haben.
CalcDesaster Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann mal Beispiele. Eine schwingende Saite, ein System miteinander gekoppelter Pendel (Festkörperphysik: Gitterschwingungen) usw. Warum haben die Vektoren in der QM keine Länge oder Richtung ??
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Weil Vektoren in der Quantenmechanik einen Zustand im Raum der quantenmechanischen Zustände definieren. Dieser Raum wird vereinfacht von allen Freiheitsgraden des Systems aufgespannt. Diese sind voneinander unabhängig und müssen mit Längen und Winkeln nicht unbedingt etwas zu tun haben, deshalb ist "Richtung" ein schlechter Begiiff. Die Vektroren sind i.d.R. auf 1 (Einheitenlos) normiert, was einer Wahrscheinlichkeit von 100% entspricht (Teilchen ist irgendwo) und die Eigenwerte der Operatoren sind z.B. der Impuls, Drehimpuls, Energie etc. also auch nichts mit Länge.

Bei den Schwingungen habe ich immer noch nicht das Eigenwertprobelm gefunden. Ich meinte mit Beispiel eigentlich ein gerechnetes (in Ansätzen skizziertes) Probelm.
Wenn ich Z.B. gekoppelte Pendel habe, dann stelle ich die Lagrangegleichung für die zwei Freiheitsgrade (Beide Winkel) auf und bekomme dann einen Satz von Differentialgleichungen, die man mit geeignetem Ansatz lösen kann. Was ist dann der Operator und was ist dessen Eigenwert/-vektor? Bei Phononen fällt mir auch nicht ein wo eine klassisches Eigenwertproblem ( A|a> = a|a>) auftaucht. Man hat eine unmenge gekopplter DGLs, macht den Ansatz ebener Wellen um diese zu entkoppeln stellt dann noch ein paar Forderungen und kommt dann auf die Dispersionsrelation w(q) für Phononen..
CalcDesaster Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Antwort steckt schon in deiner Ausführung. Sowohl bei den gekoppelten Pendeln wie auch bei den Phononen (problemstellung ist eigentlich die gleiche) bekommst du ein System von DGLs. Wie entkoppelst du die denn ?? Du suchst die Eigenfuntionen und Eigenwerte. Für mich ist das ein "klassisches" Eigenwertproblem smile
Warum du unbedingt drauf bestehst einen Operator bei einem Eigenwertproblem zu haben weiss ich auch nicht. Aber nun denn in diesem Fall ist der "Operator" die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems.
Vielleicht hast du hier Recht, über Richtungen und Längen zu reden ist in der QM vielleicht bissl eigenartig. Jedoch handelt es sich hier auch nur um einen Vektorraum. Sind die Eigenfunktionen des Impulsoperators normierbar ??
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt so Allgemein habe ich gar nicht gedacht smile
Wenn ich im Bronstein nach "Eigenwertproblem, allgemeines", Nachschlage kommt erst einmal nur das von dir eingangs geschilderte Problem.
Und in letzter Zeit habe ich mehr Streutheorie (und TTP) als klassische Mechanik gemacht und da begegnet einem der Begriff eben andauernd und auch genau in diesem Zusammenhang.. Bei Festkörpern ist mir das nicht aufgefallen und in der Mechanik, früher, wußte ich noch gar nichts von Eigenwerten, daher ist die Zuordnung für mich erst einmal etwas seltsam.

Mit Länge verbinde ich was wie Meter, Norm und Betrag als Begriffe finde ich schicker wenns mit Metern nichts zu tun hat Augenzwinkern
Die Eigenvektoren (-funktionen) des Impulsoperators sind afaik orthonormiert (Der Impulsoperator ist eine Observable), dann sollte es nicht schwer sein sie zu normieren Augenzwinkern .
CalcDesaster Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt Ich glaube wir sind hier ziemlich vom usprünglichen Thema abgekommen smile
mountainflower Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings! X( Da bin ich mal zwei Tage weg, und schon verwirrt Ihr den armen Joda so sehr, dass er sich nicht mehr traut was zu sagen... ;-)

Nein, im Ernst: Es war spannend Eure Diskussion zu lesen. Vor allem, weil ich zum Mathelager gehoere und deshalb mit Physik nicht wirklich viel am Hut habe. Trotz allem muss ich halt leider immer wieder Physikkurse belegen. Naja, was einen nicht umbringt, macht einen stark! smile
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mountainflower
weil ich zum Mathelager gehoere und deshalb mit Physik nicht wirklich viel am Hut habe. Trotz allem muss ich halt leider immer wieder Physikkurse belegen.


Warum denn das??
mountainflower Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ich Physikkurse belegen muss? Ist halt so... Im Grundstudium muss ich Physik I bis III besucht haben und im Fachstudium kommt noch Allgemeine Mechanik dazu.

Ist bestimmt nicht schlecht. Viele, die Mathe studieren, koennen das spaeter gebrauchen. Aber wenn man Richtung Versicherungs- und Finanzmathe macht, dann braucht man das wohl nicht mehr wirklich. Aber wer weiss... Kann ich erst sagen, wenn ich mein Diplom in der Hand halte. Oder vielleicht doch lieber erst, wenn ich schon ein paar Jaehrchen gearbeitet habe. :-)
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mal behaupten, es gibt kein anderes Fach, in dem die Mathematik so gebraucht wird wie in der Physik. Manche Matheteilgebiete haben ja nur durch physikalische Probleme ihre Existenzberechtigung Augenzwinkern
mountainflower Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, in der Mathe... :-)

Aber Du hast schon recht: Viele Gebiete der Mathe bauen darauf auf, dass sich mal einer eine physikalische Frage gestellt hat. Allerdings muss man auch sehen, dass es das Umgekehrte auch gibt.

Trotz allem ist Mathe wahrscheinlich eine der wenigen Studienrichtungen, wo man nicht etliche andere Faecher belegen muss. Mathe kommt ja in sehr vielen Studienrichtungen vor, und meistens regen sich die Studenten darueber auf. Auch die Phyisk-Studenten muessen recht viel Mathe machen, was zwar verstaendlich, aber deswegen nicht unbedingt beliebt ist, hab ich nicht recht?
CalcDesaster Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe das ist ja eigentlich schon OffTopic aber interessant smile
Jo in der Physik wird die Mathematik extrem gebraucht. Ich denke, daß einige Physikstudenten meinen die viele Mathe, die sie lernen müssen sei überflüssig. Doch wie will man über ein Problem reden wenn man keine Sprache dafür hat. Man kann vieles qualitativ auch so beschreiben, doch möchte man auch quantitative Aussagen machen, ist man ohen diese Sprache aufgeschmissen. Das Problem ist, daß die analytische Beschreibung ganz schnell am Ende ist, sie ist gut um viele Dinge zu verstehen, aber letztendlich kommt man dann doch nicht um numerische Verfahren herum. Also an alle Physiker smile mathet mal fleissig.
Meromorpher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Trotz allem ist Mathe wahrscheinlich eine der wenigen Studienrichtungen, wo man nicht etliche andere Faecher belegen muss. Mathe kommt ja in sehr vielen Studienrichtungen vor, und meistens regen sich die Studenten darueber auf. Auch die Phyisk-Studenten muessen recht viel Mathe machen, was zwar verstaendlich, aber deswegen nicht unbedingt beliebt ist, hab ich nicht recht?

Die Mathevorlesungen (z.B. Analysis und Lineare Algebra) im Grundstudium sind fast einfacher und konkreter als die Theorievorlesungen im Grund- und (vor allem) Hauptstudium. Da merkt man keinen Unterschied zu Mathevorlesungen. Den Bezug zur "Realität" muss man immer aufwendig suchen und findet ihn manchmal gar nicht smile Die, die an Mathe scheitern versagen erfahrungsgemäß auch überall sonstwo.
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