Reihen

26.11.2005, 18:55

Lamalambra

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Reihen

Hey hallo, wie schauts aus? Habe wieder mal eine nette Aufgabe, bei der ich nicht so recht vorankomme, hoffe Ihr könnt mir vielleicht dabei helfen...

Es seien $\begin{eqnarray*} a_{k} \in \mathbb R, w_{k}, z_{k}, \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z_{k}\neq 0, \lambda \neq 0, \sum_{k=1}^\infty~z_{k} \end{eqnarray*}$ divergent, $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~w{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~a{k} \end{eqnarray*}$ konvergent. Was können Sie zur Konvergenz bzw. Divergenz von
i) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\lambda z_{k} \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~z_{k} + w_{k} \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{z_{k}} \end{eqnarray*}$
iv) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~a_{k}^2 \end{eqnarray*}$
aussagen?

Könntet Ihr mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich das machen könnte...

Gruß dat Lama

edit von jochen: die menge der kompl. zahlen wird in latex "\mathbb C" kodiert

26.11.2005, 20:05

JochenX

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hast du denn gar keine idee?

also die ersten beiden z.b. sollten völlig klar sein, oder etwas nicht?
was bedeutet denn divergent? kann das durch einen konstanten faktor geändert werden?

27.11.2005, 19:59

Lamalambra

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Hey also ich habe schon eine Idee, denn kovergieren bedeutet ja, dass eine Reihe oder Folge gegen einen bestimmten Grenzwert läuft und deverigieren heißt dann wohl das Gegenteil davon, also dass die Reihe nicht gegen eine bestimmten Wert läuft oder nicht?
Also könnte ich dann ja theoeretisch denn Grenzwert bilden und somit schauen, ob es konvergiert oder nicht? Oder?

Gruß dat Lama

27.11.2005, 20:04

JochenX

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wie willst du das machen?

wenn deine gedanken noch etwas konkretere hintergründe haben, nur raus damit
als wert angeben wiorst du nix können, da ja auch deine angaben alle nur "allgemein" sind

27.11.2005, 20:16

AD

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Zu

iv) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~a_{k}^2 \end{eqnarray*}$

könnte man etwas aussagen, falls man von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~a_k \end{eqnarray*}$ sogar die absolute Konvergenz voraussetzen könnte. Steht aber so nicht da. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.11.2005, 20:20

Lamalambra

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Naja, Werte genau kann man nicht angeben, dass dacht ich mir schon selbst, aber mit den Bedingungen in der Aufgabe selbst, kann man das damit nicht begründen oder muss man das mathematisch machen?
Also bei i) zum Beispiel könnte man ja sagen, da dass $\begin{eqnarray*} z_{k} \end{eqnarray*}$ divergiert und ich dieses allerdings mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ multipliziert wird, dass ungleich 0 ist, kann man doch sagen, dass es im allgemeinen divergiert oder nicht?

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27.11.2005, 20:44

JochenX

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klar, kannst das lambda ja aus der summe ziehen

m einfachsten zeigst du die divergenz, indem du annimmst deine summe über (lambda*z_k) würde konvergieren und zeigst, das DANN auch z_k kovergiert

28.11.2005, 12:15

Lamalambra

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Also irgendwie weiß ich nun aber nicht, wie ich das zeigen soll... Vielleicht kannst du mir da noch mal nen Tipp geben, wäre nett!

Gruß dat Lama

28.11.2005, 13:17

AD

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Bei i) und ii) zeigst du Divergenz (ist ja bei i) schon größtenteils geschehen), und bei iii) und iv) gibst du jeweils Beispiele an, dass unter deinen Voraussetzungen sowohl Konvergenz als auch Divergenz auftreten kann.

28.11.2005, 13:32

Lamalambra

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Ok, dann versuch ich das mal, danke schöön smile

smile

29.11.2005, 17:32

Lamalambra

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Hi, ich bin es noch mal...

Also habe jetzt bei ii) eine Lösung, vielleicht könnt Ihr mir sagen, ob man das so sagen oder machen kann...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~z_{k}+w_{k}\Rightarrow \sum_{k=0}^\infty~z_{k} + \sum_{k=0}^\infty~w_{k} \end{eqnarray*}$
so nun weiß ich laut Aufgabe, dass die Summe $\begin{eqnarray*} z_{k} \end{eqnarray*}$ divergiert und die Summe $\begin{eqnarray*} w_{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert, also kann ich doch nun sagen, da der gesamte Term divergiert, weil die erste Summer ja gegen Unendlich läuft und wenn man dann was zuzählt, es ja nichts an der Tatsache ändern, dass es immer noch unendlich ist oder??

Kann mir vielleicht jemand sagen, ob das so stimmt oder ich zumindest auf dem richtigen Weg bin?

Gruß dat Lama

29.11.2005, 20:02

Mathespezialschüler

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Naja, die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~(z_k+w_k)=\sum_{k=0}^\infty~z_k+\sum_{k=0}^\infty~w_k \end{eqnarray*}$

gilt ja nur für konvergente Reihen. Wenn du es ganz genau machen willst, solltest du annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~(z_k+w_k) \end{eqnarray*}$ konvergiert und daraus folgern, dass auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~z_k \end{eqnarray*}$ konvergieren müsste - Widerspruch.

Gruß MSS

29.11.2005, 20:10

Lamalambra

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Und wie mache ich das? Irgendwie habe ich da keine Ahnung...

29.11.2005, 20:17

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} z_k=(z_k+w_k)-w_k \end{eqnarray*}$ . Und jetzt das Argument aus meinem letzten Post.

Gruß MSS

30.11.2005, 17:32

Lamalambra

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Also irgendwie raffe ich gar nix mehr, ich komme mir gerade echt dämlich vor, aber ich weiß nicht, was du meinst... Ich kann damit gerade nix anfangen, wenn ich das von dir aufgreife, habe ich dann ja gleich:

$\begin{eqnarray*} z_{k}= z_{k} \end{eqnarray*}$

Was bringt mir das und wie soll ich das mit dem letzten Post verbinden verwirrt

verwirrt

Ich verstehe es leider nicht unglücklich

unglücklich

30.11.2005, 17:35

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~w_k \end{eqnarray*}$ konvergiert. Wenn nun $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~(z_k+w_k) \end{eqnarray*}$ auch konvergieren würde, dann würde das auch für die Differenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~(z_k+w_k-w_k) \end{eqnarray*}$

gelten - nach einem Grenzwertsatz. Diese Reihe ist aber $\begin{eqnarray*} =\sum_{k=0}^\infty~z_k \end{eqnarray*}$ . Damit hast du den Widerspruch.

Gruß MSS

30.11.2005, 17:54

Lamalambra

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Na sauber, dass hätte ich eigentlich auch selber sehen können, na ja, hatte wohl nen Brett vor dem Kopf, dann versuche ich die nächsten mal selber, mal schaun, was dabei rum kommt, auf jedenfall ein dickes Danke smile

smile

03.12.2005, 11:37

Lamalambra

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Hey, wollte mal kurz überprüfen, ob diese Möglichkeit für iii) geht...

Erstemal kann man sagen, dass keine Angabe gemacht werden kann, ob es konvergiert oder devergiert, da beides möglich ist und dafür habe ich nun Beispiele:

$\begin{eqnarray*} z_n=(-1)^n\Rightarrow \sum_{k=0}^n~(-1)^n = \sum_{k=0}^n~\frac{1}{(-1)^n} \end{eqnarray*}$ devergiert

$\begin{eqnarray*} z_n=n^2 \Rightarrow \sum_{k=0}^n~n^2 = \sum_{k=0}^n~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert

Gruß dat Lama

03.12.2005, 11:46

Mathespezialschüler

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Zunächst solltest du die Reihen bei $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ beginnen lassen und außerdem die Laufvariable $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bei den Gliedern schreiben!

$\begin{eqnarray*} z_k=(-1)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~z_k=\sum_{k=1}^{\infty}~(-1)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{z_k}=\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(-1)^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_k=k^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~z_k=\sum_{k=1}^{\infty}~k^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{z_k}=\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Lamalambra
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~n^2 = \sum_{k=0}^n~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Deine Beispiele sind zwar richtig mit der Berichtigung von mir, aber diese Gleichung ist ja nun vollkommen falsch. Beim ersten Beispiel hat es zufälligerweise geklappt mit der Gleichheit, aber natürlich gilt fast immer

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~z_k\neq \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{z_k} \end{eqnarray*}$ !!!

Gruß MSS

03.12.2005, 11:53

AD

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@Lamalambra

Ja, die Beispiele passen. Freude

Freude

(Die Bemerkungen von MSS allerdings auch.)

Die Beispiel bei iv) sind allerdings schwieriger zu finden, zumindest das für die Divergenz.

03.12.2005, 12:48

Lamalambra

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Danke schön für die Berichtigung smile

smile

Bin dann mit der Aufgabe fertig iv) habe ich schon gelöst smile

smile

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