Konvergenz einer Reihe

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Calypso883i Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe
Hallo,
Ich verstehe leider nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll:

Untersuchen sie die Reihe auf Konvergenz.




Habe erstmal Werte von 1 bis 10 eingesetzt und mit dem Taschenrechner jeweils ausgerechnet:

n = 1 => 2
n = 2 => 2
n = 3 => 1,7 Periode
n = 4 => 1,5
n = 5 => 1,23
n = 6 => ~ 0,99
n = 7 => ~ 0,78
n = 8 => ~ 0,62
n = 9 => ~ 0,48
n = 10 => ~ 0,37

Dann handelt es sich doch um eine Nullfolge oder? Aber es gibt ja noch diese anderen Kriterien, mit denen man es lösen kann bzw. können sollte. Ich habe mal bei Wikipedia geschaut, aber bin nicht wirklich daraus schlau geworden, da ich nicht weiß, was ich anwenden soll. Da stand z.B. was von:

* Cauchy-Kriterium
* Majorantenkriterium
* Quotientenkriterium
* Wurzelkriterium
* Leibniz-Kriterium

Wie finde ich raus was ich benutzen muss? Was geht am schnellsten / einfachsten? Ich habe noch mehr Aufgaben, könnte mir aber jemand das an der oben genannten Aufgabe langsam erklären? Will das unbedingt verstehen.
Eine Antwort bis Morgen früh wäre mir ganz lieb.
Schonmal vielen Dank.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe
Zitat:
Original von Calypso883i
Dann handelt es sich doch um eine Nullfolge oder?

Danach sieht es aus und so ist es auch.

Zitat:
Original von Calypso883i
Wie finde ich raus was ich benutzen muss? Was geht am schnellsten / einfachsten?

Das Quotientenkriterium funktioniert hier gut. Das ist sehr oft der Fall, wenn man im Quotienten aufeinanderfolgender Reihenglieder sehr viel wegkürzen kann.

Zitat:
Original von Calypso883i
Ich habe noch mehr Aufgaben, könnte mir aber jemand das an der oben genannten Aufgabe langsam erklären?

In diesem Forum geben wir keine Komplettlösungen. Das Quotientenkriterium ist aber erfüllt, wenn es ein und gibt, so dass und ( sind hierbei die Glieder der Reihe).

Du musst also den Quotienten so weit vereinfachen, bis du ein mit findest, das größer als dieser Quotient ist. Dies muss nicht für alle Reihengliederpaare der Fall sein, aber für alle ab einem bestimmten , das du wählen darfst, so dass es zu deinem passt.

Hier im speziellen musst du noch wissen, dass gegen konvergiert.
Calypso883i Auf diesen Beitrag antworten »
















n = 1 => 0,5
n = 2 => 0,4444444
n = 3 => 0,42
n = 4 => 0,41
n = 5 => 0,4
n = 6 => 0,397

Da gegen konvergiert, wäre doch z.B. q=0,6

Das ist größer als der Quotient, aber < 1
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Quotient ist um den Faktor 2 falsch, bereits im Ansatz:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Calypso883i




Das ist wohl falsch. Überprüfe den Nenner.

EDIT: Arthur war wieder schneller. traurig
Calypso883i Auf diesen Beitrag antworten »

Könnt mich richtig ärgern. So mal auf nem Zettel gerechnet und nun hab ich:




dies würde bedeuten:

n = 1 => 1,0
n = 2 => 1,77
n = 3 => 3,375
n = 4 => 6,55
n = 5 => 12,86
n = 6 => 25,38

=


konvergiert gegen = ~ 0,37

Aber wie komme ich auf q???
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Calypso883i
Könnt mich richtig ärgern. So mal auf nem Zettel gerechnet und nun hab ich:


Redest du immer noch vom Quotienten ?

Da kommt aber heraus.
Calypso883i Auf diesen Beitrag antworten »

mein ich ja
war nur nen tippfehler das hoch n


Wie komm ich aber dann auf p? waär dann p = z.B. 0,8

Denn 2 * 1/e = ~ 0, 736

dann wär p < 1 aber p > 0,736...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du sprichst in Rätseln - was ist denn nun wieder p?

Und Tippfehler??? Aber ein ausgewachsener, sonst hättest du wohl kaum sowas

Zitat:
Original von Calypso883i
n = 1 => 1,0
n = 2 => 1,77
n = 3 => 3,375
n = 4 => 6,55
n = 5 => 12,86
n = 6 => 25,38

gerechnet!
Calypso883i Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich. Richtig ist natürlich (hoffe ich):

n = 1 => 1,0
n = 2 => 0,88..
n = 3 => 0,84..
n = 4 => 0,82..
n = 5 => 0,80..
...

gegen ~ 0, 736


Ist dann q = z.B. 0,9

dann wär q < 1 aber q > a_(n+1) / a_n
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist ein passendes für das Quotientenkriterium.
Calypso883i Auf diesen Beitrag antworten »

Reicht dies um die reihe auf konvergenz zu untersuchen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na klar: Die Bedingungen des Quotientenkriteriums, wie es sqrt(2) erläutert hat, sind erfüllt. Folglich ist die Reihe konvergent.
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