Rekursive Folge

27.11.2005, 01:00

Master

Rekursive Folge

Für ein festes $\begin{eqnarray*} \alpha > \end{eqnarray*}$ 0
Zeige induktiv, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ monoton wächst und durch $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{\alpha } \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Berechne den limes.

$\begin{eqnarray*} a_0=\sqrt{\alpha } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{\alpha +a_n} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} a_0\leq a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\alpha } \leq \sqrt{\alpha+\sqrt{\alpha }} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ positiv ist gilt
$\begin{eqnarray*} \alpha \leq \alpha+\sqrt{\alpha } \end{eqnarray*}$ was nunmal gilt, da positiv.

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} a_n\leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n\leq \sqrt{\alpha+a_n } \end{eqnarray*}$

Nun stehe ich vor dem Problem, ich weiss nicht weiter. Ich habe mir gedacht, für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ den Vorgänger-Schritt einzusetzen, also:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\alpha+a_{n-1} }\leq \sqrt{\alpha+a_n } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-1} \leq a_n \end{eqnarray*}$

Was laut Vorraussetzung ja stimmt...oder? Und wie beweise ich nun die Beschränktheit bzw den Limes?

27.11.2005, 02:32

irre.flexiv

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Das ist schon richtig, nur etwas unglücklich formuliert.
Mach mal etwas deutlicher was die Induktionsvoraussetzung ist und wo du sie einsetzt.
Die Beschränktheit zeigst du einfach wieder -wie auch in der Aufgabe gefordert- induktiv.

27.11.2005, 11:08

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Und als Hinweis zu diesem Induktionsbeweis der Beschränktheit:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\alpha+(1+\sqrt{\alpha})} \leq \sqrt{1+2\sqrt{\alpha}+\alpha} \end{eqnarray*}$

27.11.2005, 13:42

Master

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Vorraussetzung: $\begin{eqnarray*} a_{n}\leq 1+\sqrt{\alpha } \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} a_0 \leq 1+\sqrt{\alpha } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\alpha } \leq 1+\sqrt{\alpha } \end{eqnarray*}$ das ist nunmal richtig.

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq 1+\sqrt{\alpha } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\alpha +a_n} \leq 1+\sqrt{\alpha } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha +a_n \leq 1+2\sqrt{\alpha } +\alpha \end{eqnarray*}$

nun setze ich für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ die Beschränktkheit ein (vorraussetzung):
$\begin{eqnarray*} \alpha +1+\sqrt{\alpha } \leq 1+2\sqrt{\alpha } +\alpha \end{eqnarray*}$

und da Alpha immernoch positiv ist, gilt es! smile

Könnt ihr mir dann eventuell ncoh einen TIpp wegen dem Limes geben?

27.11.2005, 13:58

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Zitat:

Original von Master
Könnt ihr mir dann eventuell ncoh einen TIpp wegen dem Limes geben?

Explizite Darstellung einer rekursiv definierten Folge

27.11.2005, 14:07

Master

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Was ist denn ein Fixpunkt? Aber davon mal abgesehen:

Die ist monoton steigend und beschränkt...muss die Folge dann nicht zwangsläufig gegen diese beschränktheit konvergieren?

27.11.2005, 14:16

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Richtig, die Konvergenz ist in deinem Beispiel bereits gesichert. Und den Link habe ich angegeben, um dir zu zeigen, wie man den eigentlichen Grenzwert rauskriegen kann. Was Fixpunkt ist, steht doch dort: Ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , welches die Gleichung $\begin{eqnarray*} a=g(a) \end{eqnarray*}$ erfüllt.

EDIT: Ich hab deinen letzten Beitrag nochmal genau durchgelesen: Wenn du glaubst, dass der Grenzwert gleich $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{\alpha} \end{eqnarray*}$ ist, dann bist du auf dem Holzweg. $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{\alpha} \end{eqnarray*}$ ist nur irgendeine obere Schranke, aber nicht die kleinste!!!

27.11.2005, 14:27

Master

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Dann habe ich aber auch irgendwie nicht verstanden, wie ich nun den Grenzwert rausbekomme

27.11.2005, 14:35

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$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{\alpha +a_n} = g(a_n) \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{\alpha+x} \end{eqnarray*}$ .

Und für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} a=g(a) \end{eqnarray*}$ gelten, eingesetzt also

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{\alpha+a} \end{eqnarray*}$

Das musst du nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auflösen. Ausführlicher geht's jetzt wirklich nicht mehr. unglücklich

27.11.2005, 15:17

Master

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Ah ok..da habe ich: $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{\alpha +\frac{1}{2}} +\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

müsste stimmen Big Laugh

27.11.2005, 15:19

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Zitat:

Original von Master
Ah ok..da habe ich: $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{\alpha +\frac{1}{2}} +\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

müsste stimmen Big Laugh

Nicht ganz: $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{\alpha +\frac{1}{4}} +\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

27.11.2005, 15:29

Master

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Oh, da war einer meiner Standardfehler bei der Quadr. Ergänzung mit Zahlen < 1 unglücklich

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