Limes beweisen

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27.11.2005, 13:45	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes beweisen Hallöle, letzte Woche bin ich ganz gut alleine klar gekommen, doch diese Woche brauche ich wieder Eure Hilfe... es sei $\begin{eqnarray} x_{1} = 1 + a, ..., x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_{n} + \frac{a}{x_{n}}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ Zuerst würde ich gern mal wissen, wie $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ aussehen könnte. Das raff ich irgendwie nicht. Dann ist zu beweisen $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} x_{n} = \sqrt{a} \end{eqnarray}$ . Als Ansatz hat der Prof uns gegeben, wir sollten zuerst $\begin{eqnarray} x_{n}^2 \geq a \end{eqnarray}$ beweisen und damit zeigen, dass auch $\begin{eqnarray} x_{n+1} \leq x_{n} \end{eqnarray}$ richtig ist. Das ist mir irgendwie klar, aber da ich nicht mal die Bildungsvorschrift für $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ raffe, habe ich leider keine Ahnung, wie ich das machen soll...
27.11.2005, 13:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses Thema hatten wir schon sehr oft hier im Board. Vielleicht gibst du einmal "Heron" oder "Heron-Verfahren" als Suchbegriff ein. Auch bei Wikipedia lohnt es, darunter nachzuschauen.
27.11.2005, 14:55	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, nach Lektüre verschiedenster Artikel im Internet weiß ich jetzt, dass meine Formel ein Verfahren zur Bestimmung von $\begin{eqnarray} \sqrt{a} \end{eqnarray}$ ist. Leider hilft mir das nicht weiter für den Beweis, dass die Formel tatsächlich einen sich von oben nähernden Wert für $\begin{eqnarray} \sqrt{a} \end{eqnarray}$ liefert und $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ damit gegen $\begin{eqnarray} \sqrt{a} \end{eqnarray}$ geht. Ich weiß wohl, dass das so ist, aber wie beweise ich das?
27.11.2005, 16:27	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
is denn da keiner, der mir helfen will?
27.11.2005, 18:43	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte etwas Geduld! Kommst du denn mit den Tipps des Profs nicht weiter? Guck mal hier, da hab ich das noch etwas genauer beschrieben. Du musst dir nur anstelle von $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ immer ein $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ denken. Gruß MSS
27.11.2005, 19:01	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, damit kann ich mehr anfangen. Problem 1: für den Grenzwert kriege ich raus: $\begin{eqnarray} g^2 = a \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} g = \pm \sqrt{a} \end{eqnarray}$ Ich will aber nur die positive Lösung haben (die ja auch die richtige ist). Muss ich da durch oder gibt's 'nen Weg, $\begin{eqnarray} -\sqrt{a} \end{eqnarray}$ zu vermeiden?
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27.11.2005, 19:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass $\begin{eqnarray} -\sqrt{a} \end{eqnarray}$ nicht der Grenzwert sein kann, ergibt sich doch einfach daraus, dass stets $\begin{eqnarray} x_n\geq 0 \end{eqnarray}$ gilt. Gruß MSS
27.11.2005, 19:25	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, naja klar, ist auch nicht ganz so wichtig... Spannender ist, wie ich beweisen soll, dass: I. $\begin{eqnarray} x_{1} < \sqrt{a} \end{eqnarray}$ und gleichzeitig II. $\begin{eqnarray} x_{1} > \sqrt{a} \end{eqnarray}$ das geht doch gar nicht... zeigen kann ich nur II., I. führt zu einem Widerspruch
27.11.2005, 19:38	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, vll solltest du einmal etwas genauer lesen, was ich dort geschrieben habe. I. und II. sind zwei verschiedene Fälle. Du musst zunächst gucken, welcher bei deiner Aufgabe gilt. Gruß MSS
27.11.2005, 21:52	maxhase	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, hast recht... hat jetzt aber geklappt. Danke Dir. Zur Erläuterung: ich studiere Informatik und ein nichtnaturwissenschaftliches Fach in der Hoffnung, irgendwann Lehrer werden zu dürfen. Mein Credo für Mathe lautet: Augen zu und durch und hoffen, dass es mindestens 50% werden... :-)

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