Nachweis von linearer Abhhängigkeit

27.11.2005, 15:10

michael2005

Nachweis von linearer Abhhängigkeit

ich muss folgende aufgabe lösen und hab keinen rechten ansatz...

Es sei K ein Körper mit Einselement 1 und {u1,...,un} eine linear unabhängige teilmenge eines k-vektorraums v. zeigen sie für u=a1*u1 + ... +an*un (mit ai element K) {u1 - u, u2 - u,..., un-u} genau dann linear abhängig, wenn a1 + ... + an =1 ist.

muss ich jetzt nachweisen, dass:
l * u1 - m*u = 0
l * u2 - m*u = 0
usw bis
l * un - m*u = 0

eine lösung hat. falls ja, wie geht das?

27.11.2005, 16:30

michael2k5

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also, ich hab nun mal ein praktisches beispiel gemacht um damit die lineare abhängigkeit zu testen. mit meinem beispiel hats allerdings nicht geklappt. nun geh ich mal davon aus, dass mein ansatz dick falsch is ^^

helft mir!!

27.11.2005, 19:48

Mathespezialschüler

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Hatten wir schonmal, nämlich hier.

Gruß MSS

27.11.2005, 23:10

michael2k5

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also ich kann damit irgendwie nich all zu viel anfangen, leider unglücklich

also ich hab dem beispiel jetzt schonmal entnommen, dass ich zeigen muss dass für a1+...+an=1 gilt: a1*(u1-u)+...+an(un-u)=0 ist, indem ich ausmultipliziere und alle terme mit u auf die andere seite bringe

a1u1 + a2u2 a3u3 = a1u + a2u + a3u

27.11.2005, 23:16

Mathespezialschüler

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Das ist zwar jetzt nur ein Beispiel für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ , aber es ist doch schonmal gar nicht so schlecht. Rechts musst du nur noch $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ausklammern. Allgemein geht das so:

$\begin{eqnarray*} a_1(u_1-u)+\ldots+a_n(u_n-u)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a_1u_1+\ldots+a_nu_n=a_1u+\ldots+a_nu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a_1u_1+\ldots+a_nu_n=(a_1+\ldots+a_n)u \end{eqnarray*}$

Da nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a_1+\ldots+a_n=1 \end{eqnarray*}$ gilt, ist dies äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} a_1u_1+\ldots+a_nu_n=1u=u \end{eqnarray*}$ .

Da dies alles Äquivalenzumformungen sind, ergibt sich aus der Definition von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , dass mit $\begin{eqnarray*} a_1+\ldots+a_n=1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} a_1(u_1-u)+\ldots+a_n(u_n-u)=0 \end{eqnarray*}$ .

Kannst du damit begründen, dass $\begin{eqnarray*} \{u_1-u,\ldots,u_n-u\} \end{eqnarray*}$ linear abhängig ist?

Die andere Richtung ist noch etwas schwieriger. Im angegebenen Link ist dafür aber zumindest schon ein Ansatz da.

Gruß MSS

28.11.2005, 00:33

michael2k5

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oke, also den ersten teil der aufgabe haben wir gepackt. wir haben gezeigt, dass die menge linear abhängig is für a1 + ... + an = 1

jetzt noch die andere richtung.

k1 (u1 - u) + ... + kn(un - u) = 0

28.11.2005, 00:53

Mathespezialschüler

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Also, die andere Richtung bedeutet: Wenn $\begin{eqnarray*} \{u_1-u,\ldots,u_n-u\} \end{eqnarray*}$ linear abhängig ist, dann ist $\begin{eqnarray*} a_1+\ldots+a_n=1 \end{eqnarray*}$ . Wir nehmen also an, dass die Menge linear abhängig ist. Dann gibt es Zahlen $\begin{eqnarray*} k_1,\ldots,k_n\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~k_i(u_i-u)=k_1(u_1-u)+\ldots+k_n(u_n-u)=0 \end{eqnarray*}$

ist, obwohl mind. eines der $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ ungleich 0 ist! Ich zeig dir mal, wie "Der Student" im anderen Thread auf das GLS gekommen ist: Wir setzen jetzt die Definition von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ein und multiplizieren aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~k_i(u_i-u)=\sum_{i=1}^n~k_i\left(u_i-\sum_{j=1}^n~a_ju_j\right)=\sum_{i=1}^n~k_iu_i-\sum_{i=1}^n~\sum_{j=1}^n~k_ia_ju_j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{j=1}^n~k_ju_j-\sum_{j=1}^n~\sum_{i=1}^n~k_ia_ju_j=\sum_{j=1}^n~\left(k_ju_j-\sum_{i=1}^n~k_ia_ju_j\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{j=1}^n~\left(k_j-a_j\sum_{i=1}^n~k_i\right)u_j=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\left(k_1-a_1\sum_{i=1}^n~k_i\right)u_1+\ldots+\left(k_n-a_n\sum_{i=1}^n~k_i\right)u_n=0 \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} \{u_1,\ldots,u_n\} \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung linear unabhängig ist, muss für $\begin{eqnarray*} j=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ gelten:

$\begin{eqnarray*} k_ju_j-\sum_{i=1}^n~k_ia_ju_j=0 \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} k_1-a_1\sum\limits_{i=1}^n~k_i & = & 0 \\ k_2-a_2\sum\limits_{i=1}^n~k_i & = & 0 \\ \vdots & & \\ k_n-a_n\sum\limits_{i=1}^n~k_i & = & 0\end{matrix} \end{eqnarray*}$ ,

was dieses GLS ist. Das kann man auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} a_1\sum\limits_{i=1}^n~k_i & = & k_1 \\ a_2\sum\limits_{i=1}^n~k_i & = & k_2 \\ \vdots & & \\ a_n\sum\limits_{i=1}^n~k_i & = & k_n\end{matrix} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt darfst du auch mal wieder was machen: Kann $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~k_i=0 \end{eqnarray*}$ sein?

Gruß MSS

28.11.2005, 01:07

michael2k5

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ne, ich denk die summe davon kann nich null sein, da mindestens ein ki größer als null sein soll, wie du auch schon oben geschrieben hast...

also komischerweise is eben auch meine icq verbindung abgeschmiert und kann nich mehr aufgebaut werden. ich bedanke mich jedenfalls schonma bei dir für deine mühe und hilfe!

ich denk, jetz bin ich ein stück weiter...

28.11.2005, 01:17

Mathespezialschüler

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Naja, aber es könnte ja z.B. $\begin{eqnarray*} k_1=1,k_2=-1,k_3=k_4=\ldots=k_n=0 \end{eqnarray*}$ sein. Das geht aber in diesem Falle deshalb nicht, weil sonst ja alle linken Seiten hier verschwinden würden:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} a_1\sum\limits_{i=1}^n~k_i & = & k_1 \\ a_2\sum\limits_{i=1}^n~k_i & = & k_2 \\ \vdots & & \\ a_n\sum\limits_{i=1}^n~k_i & = & k_n\end{matrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann müssten dies aber auch alle rechten Seiten tun, d.h. alle $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ 's müssten auch 0 sein, was ja ein Widerspruch wäre, weil wir ja vorausgesetzt hatten, dass mind. ein $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ ungleich 0 sein sollte.
Nungut, wenn wir alle diese Gleichung dort addieren, erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} a_1\sum\limits_{i=1}^n~k_i+a_2\sum\limits_{i=1}^n~k_i+\ldots+a_n\sum\limits_{i=1}^n~k_i=k_1+k_2+\ldots+k_n \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} (a_1+a_2+\ldots+a_n)\sum\limits_{i=1}^n~k_i=\sum\limits_{i=1}^n~k_i \end{eqnarray*}$ .

Und daraus folgt dann wegen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n~k_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ was? Augenzwinkern

Damit wäre dann auch die andere Richtung bewiesen.

Gruß MSS

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