Betragsfunktionen Ableiten

27.04.2008, 09:52

Lion&Mars

Betragsfunktionen Ableiten

Hi,
ich habe leider so ein kleines Problem mit Beträgen, kann mir da jemand weiterhelfen (schön wäre es, wenn jemand einen Link hätte, wo die Betragsfunktionen erläutert werden würden)

Also hier die Aufgabenstellung:

Schreiben Sie die Funktione f(x) zunächst betragsfrei. Untersuchen sie danach auf Wendepunkte.Zeichnen Sie den Graphen.

Mein Lösungsweg für das Lösen der Betragsfunktion:
a) f(x)=x*|x|

Fall 1: x*x = x² ---> für x >= 0
Fall 2: x*(-x) = -x² ----> für x<0

So, wenn das jetzt so richtig sein sollte, muss ich dann die Ableitung dieser beiden Fälle machen?

27.04.2008, 10:02

system-agent

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Ja, deine Fallunterscheidung ist korrekt Freude

Du solltest aber zuerst noch bemerken, dass deine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ garnicht differenzierbar ist, soll heissen da musst du separat untersuchen was die Funktion dort treibt.

Aber was für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ passiert kannst du durchaus mit der Ableitung überprüfen.

27.04.2008, 10:08

Leopold

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Hier bietet es sich an, die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ direkt mit dem Differenzenquotienten zu untersuchen (alle anderen Stellen sind ja unproblematisch). Du kannst aber auch so wie hier vorgehen.

Was den Wendepunkt angeht, so mußt du hier auf die ursprüngliche Definition zurückgreifen: Eine Wendestelle einer Funktion ist dasselbe wie eine Extremstelle ihrer Ableitung. Und $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ hat eine Extremstelle! Und das, obwohl dort gerade keine zweite Ableitung existiert! Das ist also wirklich zum scharfen Nachdenken.

27.04.2008, 10:10

Leopold

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Zitat:

Original von system-agent
Du solltest aber zuerst noch bemerken, dass deine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ garnicht differenzierbar ist

Irrtum. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist sehr wohl bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

27.04.2008, 10:13

system-agent

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Stimmt Leopold, danke für den Hinweis Forum Kloppe

27.04.2008, 19:44

Lion&Mars

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Hi,

ich wollte mal nachfragen, ob ich nicht jetzt die Ableitungen von beiden Funktionen x² und -x² machen muss um zu prüfen, ob ein Wendepunkt vorhanden ist?

Achja und zweitens wenn ich die Ableitungen für die beiden Funktionen mache, dann kann ich auch die zweite Ableitung bestimmen oder?

Ach ich schreibs mal auf:

Aufgabe: f(x)=x * |x|

a) f(x)=x² --> x >= 0
b) f(x)=-x² --> x < 0

1. Ableitung

a) f'(x) = 2x
b) f'(x)= -2x

2. Ableitung

a) f''(x)= 2
b) f''(x) -2

Aber um einen Wendepunkt zu bestimmen bräuchte man nun die 2.Ableitung und die 3. Ableitung. So, die 3. Ableitung kann nicht gebildet werden.

Die notw.-Bedingung: f''(x)=0
So, diese notwendige Bedingung trifft jetzt nicht zu, da sie einmal 2 und -2 lautet. Ja, sagt uns das jetzt nicht auch, dass kein Wendepunkt vorhanden ist?

Oder habe ich das alles falsch gerechnet und falsch bedacht? verwirrt

28.04.2008, 07:07

Leopold

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Du hast falsch gedacht.

Wie ich es bereits gesagt habe: Wendestellen einer Funktion sind Extremstellen ihrer Ableitung.
Und dann gibt es den Satz: Wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine Wendestelle ist und wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zweimal differenzierbar ist, dann muß $\begin{eqnarray*} f''(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Ja, wenn! Und wenn nicht?

Zunächst einmal hast du die Funktion richtig aufgedröselt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x^2 & \mbox{für} \ x \geq 0 \\ -x^2 & \mbox{für} \ x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und dann hast du für beide Fälle die Ableitung berechnet. Leider hast du nicht gesagt, für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ was gültig ist. Und damit hast du dich um den entscheidenden Punkt herumgedrückt!

In einem ersten Schritt kann man nämlich nur

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \begin{cases} 2x & \mbox{für} \ x > 0 \\ -2x & \mbox{für} \ x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

sagen. Die Frage nach der Differenzierbarkeit bei $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ bleibt zunächst offen. Man darf hier nämlich bei $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ im ersten Fall nicht formal $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ schreiben, nur weil das im ersten Fall bei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ so war. Denn beim Ableitungsbegriff wird der Limes des Differenzenquotienten gebildet - und da gehen die Werte unmittelbar rechts und links von der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ mit ein. Und links von $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist der Term $\begin{eqnarray*} -x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zuständig!

Lange Rede - kurzer Sinn! Untersuche den Differenzenquotienten direkt:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x |x|}{x} = |x| \to 0 \ \ \mbox{für} \ x \to 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt erst weißt du, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist mit $\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn man will, kann man das nachträglich einflechten, da der erste Term auch den Wert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ liefert (man könnte ebenso den zweiten nehmen):

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \begin{cases} 2x & \mbox{für} \ x \geq 0 \\ -2x & \mbox{für} \ x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ oder kurz $\begin{eqnarray*} f'(x) = 2 |x| \end{eqnarray*}$

Und jetzt mußt du bei $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ entsprechend vorgehen. Dabei wird sich herausstellen, daß die zweite Ableitung bei $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ nicht mehr existiert. Die brauchen wir aber auch gar nicht! Betrachte dir $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ . Da stößt von links eine Halbgerade mit Steigung $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ in den Ursprung, aus dem eine Halbgerade mit der Steigung $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ wieder herausführt. Also hat $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ eine Extremstelle und somit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Wendestelle.

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