Gruppen

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Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen
Hallo,

Wir haben bei uns jetzt mit Gruppen angefangen und ich habe da im momment meine probleme zu folgen.

also Beispiel diese Aufgabe:

es sei ( G,º) eine Gruppe mit neutralem Element e, wir setzen xºx = x². Zeigen sie: Ist x² = e für alle x e G, dann ist G abelsch.

wir gehe ich an diese aufgabe heran ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

Versuche, erstmal zu beantworten, was ist!

Gruß MSS
Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »

x*x^(-1) = e

und

x*x = e

mhh das sagt mir x = x^(-1) oder ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Nimm dir jetzt zwei beliebige . Du willst nun beweisen, dass gilt. Da kannst du dein Zwischenergebnis mit einbauen.

Gruß MSS
Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »

mhh, kannst mir noch nen kleinen tipp geben fürn ansatz ? kriege irgendwie nix gescheites raus.

für x = x^(-1) kann ich auch

a = a^(-1) und b = b^(-1) schreiben oder ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Es ist zunächst

.

Und für gibt es in jeder (auch in nichtabelschen) Gruppe einen Ausdruck, der nur von und abhängt. Danach kannst du verwenden, dass und ist.

Gruß MSS
 
 
Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »

jo,

(ab)^(-1) = a^(-1) * b^(-1)


aber wie komme ich darauf das ab = ba ist ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bastiii
(ab)^(-1) = a^(-1) * b^(-1)

und das ist falsch unglücklich




noch einfacher finde ich übrigens:
verknüpfe (ab) mit
1) (ab)
2) (ba)

nutze die eindeutigkeit von......
Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »

mhh das mit dem verknüpfen is noch schwieriger.

was ergibt denn (ab)verknüpft(ba) ?!?! also ansatz
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist .
LOEDs Hinweis ist so gemeint, dass du bei die Verknüpfung in der rechten Klammer mit ersetzt. Das ist letztendlich das gleiche wie bei meinem Weg auch, nur dass er nicht direkt benutzt.

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nö, nix ersetzen, einfach assoziativität anwenden


es ist (ab)(ba)=a(bb)a=.... und dann auflösen.....=e
es ist (ab)(ab)=e

und dann mit er eind. des inversen argumentieren
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, so gehts auch. Hammer

Gruß MSS
Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »

mh alslo mein Beweis würde dann so aussehen:

da x² = e und x*x^(-1) = e ist x = x^(-1)

dann nimmt man sich ab element G

dann ist

ab = (ab)^(-1) | laut regel: (ab)^(-1) = b^(-1)*a^(-1)

also

ab = b^(-1)a^(-1)


also ist es keine abelsche gruppe oder wie ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bastiii
ab = b^(-1)a^(-1)

und was ist b^-1? was a^-1?
Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »

aso,


kann ich sagen a^-1 = a und b^-1 = b ?

dachte das kann ich nur für ab machen weil das x ersetzt ?!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und was ist b^-1?

beantworte dir einfach selbst diese frage
das stand glaub schon öfters hier im thread, dass zu jedem x das inverse einfach..... ist
Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »

b^-1 = b . oder nicht ? da x² = e und x * x^-1 = e
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Gruß MSS
Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »

man ^^ schwere geburt. danke dir

kannste mir hier vielleicht noch ein dnekhilfe geben ? ist ja vom prinzip her ähnlich allerdings finde ich hier den ansatz schwieriger.


es sei ( G,º) eine Gruppe mit neutralem Element e, wir setzen xºx =: x². Zeigen sie: Ist (xºy)² = x²ºy² für alle x,y e G, dann ist G abelsch.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

is ja ganz simpel

für alle xy gilt: (xy)(xy)=(xx)(yy)

du brauchst nun: assoziativität
inverses von x, inverses von y
Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »

mhh ich kriege das nicht hin mit dem inversen von zum Beispiel x.

woraus kann ich das ableiten
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du brauchst hier nur dessen existenz, mehr nicht


wie weit kommst du denn schon?
Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »

naja, es heißt ja

x * x^-1 = e und y * y^-1 = e

also dann x*x^-1 = y*y^-1

x^-1 = (y*y^-1)/x
und
y^-1 = (x*x^-1)/y

?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
für alle xy gilt: (xy)(xy)=(xx)(yy)

du brauchst nun: assoziativität
inverses von x, inverses von y

den tipp im auge behalten



was willst du denn zeigen?
mach dir das erst mal klar
Bastiii Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das jetzt folgerndermaßen gemacht:

(xy)(xy) = (xx)(yy)

x * x^-1 = e
y * y^-1 = e

-> x*x^-1 = y * y^-1

daraus ergibt sich

x = (y*y^-1)/x^-1
y = (x*x^-1)/y^-1

dann soll bewiesen werden:

xy = yx | x und y einsetzen
[(y*y^-1)/x^-1] * [(x*x^-1)/y^-1]=[(x*x^-1)/y^-1] * [(y*y^-1)/x^-1]

yx = xy

damit ist die Gruppe abelsch.

oder nicht ?!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

/x^-1 was soll denn das sein?

"teilen" ist eigentlich nicht definiert, das schreibst du höchstens als "multiplizieren mit den inversen, also /a := *a^-1

dann ist alles was du machst unnötig und mit /x würde ich auch keinen beweis führen

pass mit dieser schreibweise auf!




du hast (xy)(xy) = (xx)(yy)
<=> x (yx) y = x (xy) y


und jetzt "nicht durch y teilen" sondern das inverse von y von rechts anverknüpfen
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