allgemeiner binomischer Lehrsatz mit rationalen Potenzen

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Schwammerl Auf diesen Beitrag antworten »
allgemeiner binomischer Lehrsatz mit rationalen Potenzen
Hi!

hab heute schon ein Thema mit der Konvergenz der binomischen Reihe eröffnet -> siehe hier

jetzt bin ich noch zu einem anderen Übungszettel vorgestoßen, wo ich leider auch die Summe von der binomischen Reihe beweisen muss:



für |z| < 1

einerseits sollen wir das für und andererseit für beweisen...

laut Wikipedia is genau das der allgemeine binomische Lehrsatz (mit b = 1): siehe



kann ma den auch wie den normalen bin.Lehrsatz mit vollständiger Induktion beweisen? aber das geht doch bei rationalen Zahlen dann nicht mehr oder?

aja: wir haben noch keine Differentialrechnung, Integralrechnung verwendet.. muss also ohne dem gehen :-/
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ein möglicher, noch relativ "elementarer" Weg:

Für natürliche Zahlen sollte es klar sein. Für positive rationale gibt es natürliche Zahlen und mit . Dann musst du aus der Forderung

für alle

mit dem dann dort anwendbaren Binomischen Satz auf schließen.
Schwammerl Auf diesen Beitrag antworten »

hm..thx

ja stimmt.. für is eh klar - ab Index sind alle Summenglieder 0, also hab ich eine endliche Reihe, an der ich den normalen binomischen Lehrsatz verwenden (bzw mit vollst. Induktion) beweisen kann..

dein Ansatz für schaut schon sehr gut aus..

also würd man da wohl so weitermachen:

aus nehm ich jetzt her und berechne damit (bin. Lehrsatz für n kenn ich ja):

also hab ich:

q-te Wurzel ziehen ->


aber wie kann ich damit von auf schließen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das, was Schwammerl gemacht hat, bringt mMn nicht so viel. Allerdings kann ich mit Arthurs Tipp auf Anhieb auch nicht so viel anfangen.
@Arthur
Könntest du das noch ein wenig erläutern? Augenzwinkern

Gruß MSS
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur
Ich möcht dich nur nochmal drauf aufmerksam machen, dass hier noch ne Frage offen war! Wäre schön, wenn du nochmal antworten würdest! Augenzwinkern

Gruß MSS
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