Logistikproblem mit Bezug zum Wahrscheinlichkeitsintegral nach Gauß |
| 28.11.2005, 15:04 | well | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Logistikproblem mit Bezug zum Wahrscheinlichkeitsintegral nach Gauß ich habe eine These, bin mir aber nicht sicher, ob sie richtig ist. Es geht um das Wahrscheinlichkeits-Integral nach Gauß. Ich wende es für ein Logistikproblem an. Ein Logistikunternehmen erhält nnerhalb einer Zeitspanne 100 Aufträge, die in Form einer Normalverteilung eingehen. Die Normalverteilung hat den Mittelwert µ=15 und die Varianz Sigma=5. Sobald ein Auftrag reinkommt, wird ein Fahrer beauftragt, den Auftrag auszuführen. Für die Erledigung eines Auftages benötigt der Fahrer 8 Minuten (d.h. Lieferdauer d=8). Ich bin mir sicher, dass sich die Anzahl der Fahrer (F), die ich benötige, um sofort einen eingehenden Auftrag ausführen zu lassen, aus dem Gauß'schen Wahrscheinlichkeits-Integral mit den Grenzen -x=-d/2 und x=d/2 ergibt, nämlich F=58. Jetzt möchte ich die Fahreranzahl einschränken. Dies führt jedoch dazu, dass ich nicht mehr alle eingehenden Aufträge sofort ausführen lassen kann. Wenn ich 50 statt der erforderlichen 58 Fahrer zur Verfügung habe, bedeutet dies, dass 8 der 58 Aufträge in dem Zeitraum -x bis x (von µ aus gesehen) nicht sofort ausgeführt werden können. Anders ausgedrückt: Für 8 von 58 Aufträgen entsteht eine Anlieferverspätung S. Die davon betroffenen Kunden warten keine 8 Minuten (wie die anderen Kunden), sondern 8+S Minuten. Jetzt möchte ich wissen wie hoch S ist. Meine These ist, dass S=d/2, also 4 Minuten ist. Stimmt das? |
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| 28.11.2005, 16:51 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier endet mein Verständnis: Was soll hier normalverteilt sein? Die Zeit zwischen zwei eingehenden Aufträgen? Erklär das bitte mal genauer, für mich ergibt das bisher keinen Sinn. |
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| 28.11.2005, 17:44 | well | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Arthur! Tja, da bin ich wieder mit meinen Fragen ... :-) Die Auftragseingänge sind Ereignisse, hier als Zufallsvariable mit der Eigenschaft normalverteilt zu sein. Die Formel für die Wahrscheinlichkeit für einen Auftragseingang zum Zeitpunkt x ist Na ja, halt die Normalverteilung (Link: Gauß- oder Normalverteilung). Die Anzahl der Aufträge in einer Zeitspanne krieg ich mit Hilfe der "Verteilungsfunktion der Normalverteilung", also dem Integral der Verteilungsfunktion. Mit beiden Formeln kann man übrigens recht bequem in Excel arbeiten. |
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| 28.11.2005, 17:54 | well | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
... ah, noch was. Die "100 Aufträge innerhalb einer Zeitspanne" meinen, dass es insgesamt insgesamt um 100 Ergeignisse sprich Aufträge geht, also vom Zeitpunkt - bis . |
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| 28.11.2005, 18:16 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da bereitest du arthur dent aber eine große freude 
werner |
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| 28.11.2005, 19:33 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da bist du im schwer im Irrtum: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auftrag im Intervall eintrifft, mag sein. Die Anzahl der in diesem Zeitintervall eintreffenden Aufträge ist dann aber - bei Unabhängigkeit, und davon gehe ich mangels anderer Informationen erstmal aus - binomialverteilt . Und da gilt dann z.B. , also ca. 46% Wahrscheinlichkeit, dass deine 58 Fahrer nicht reichen. Und das betrifft nur dieses Mittelintervall, also in Wahrheit ist diese Nicht-reichen-Wahrscheinlichkeit noch höher. Ich hoffe, das ist dir bewusst! P.S.: Normalverteilung ist an vielen Stellen üblich, aber als Modell für das Eintreffen von Aufträgen, also so Sachen Bedienungstheorie/Warteschlangen ist es in meinen Augen äußerst ungewöhnlich. Habe ich noch nirgendwo gesehen. |
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| 28.11.2005, 22:33 | well | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich ist es für mich auch wichtig zu wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass 58 Fahrer nicht ausreichen (= Überlastung). Ebenso interessieren mich Wahrscheinlichkeiten einer Unterlastung. Wenn ich richtig verstanden habe, geht das mit der Binomialverteilung. Was ich nicht verstehe ist, wie Du auf die Wahrscheinlichkeit von 48 % gekommen bist. Ehrlich gesagt kapiere ich nicht welche Aussgangswerte zu nehmen sind. 
Eigentlich braucht man bei der Binomialverteilung die Anzahl n der Ziehungen und die Eintrittswahrscheinlichkeit p. Nur was sind n und p bei der von uns diskutierten Problemlage???
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| 28.11.2005, 22:56 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genauer lesen:
Also und . |
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| 28.11.2005, 23:34 | well | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso soll n=100 sein? p soll nicht 0,58 sein. Wenn ich die Normalverteilung mit µ=15 und sigma=5 zugrunde lege habe ich innerhalb des betrachteten Intervalls folgende Wahrscheilichkeiten: x p µ-4 5,79% µ-3 6,66% µ-2 7,37% µ-1 7,82% µ 7,98% µ+1 7,82% µ+2 7,37% µ+3 6,66% µ+4 5,79% Meine 58 % Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch Aufsummierung dieser Wahrscheinlichkeiten (wobei µ-4 und µ+4 jeweils mit 0,5 zu multiplizieren sind). Da insgesamt 100 Aufträge von - bis reinkommen, sind somit 58 Auftragseingänge im Intervall von µ-4 und µ+4 zu verzeichnen. An diesen normalverteilten Wahrscheinlichkeiten soll sich nicht ändern, wobei mir klar ist, dass es sich um Mittelwerte handelt. Sorry, wenn ich mich nicht immer klar artikuliere. 
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| 28.11.2005, 23:42 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieder der Denkfehler, den ich oben ausführlich aufgezeigt habe. @alle Kann das mal jemand anders erklären, auf mich hört well anscheinend nicht.
EDIT: Ok, ein letzter Versuch von mir: Wenn du 60-mal würfelst, kriegst du dann jeweils genau 10-mal 1, 2, 3, 4, 5, 6 ??? Nein!!! Zumindest nicht mit einer besonders großen Wahrscheinlichkeit... |
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| 29.11.2005, 00:39 | well | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich wollte nie behaupten, dass eine Wahrscheinlichkeit genau für ein Ereignis oder mehrere Ereignisse eintritt. Tut mir leid, dass meine Intention Mittelwerte zu berechnen von mir nicht klar artikuliert wurde. Bezogen auf Dein Würfelbeispiel würde meine Aussage lauten: Bei 60 Würfen werden als Mittelwerte jeweils 10mal die 1, 2, 3, 4, 5 und 6 eintreten. Also, nur wenn ich dieses Würfelspiel unzählig häufig wiederhole. In diesem Sinne sollen die Wahrscheinlichkeiten meiner Auftragseingangs-Normalverteilung als Mittelwerte aufgefasst werden. Deshalb ergänze ich mein Zitat um das Fettgedruckte: "Ich bin mir sicher, dass sich die mittlere Anzahl der Fahrer (F), die ich benötige, um sofort einen eingehenden Auftrag ausführen zu lassen, aus dem Gauß'schen Wahrscheinlichkeits-Integral mit den Grenzen -x=-d/2 und x=d/2 ergibt, nämlich F=58. Unabhängig von meinen wohl mißverständlichen Geschwafel (Mittelwert hin oder her) 
, möchte ich nachvollziehen wie Deine Wahrscheinlichkeit von 46 %, dass in dem betrachteten Intervall -x=-d/2 und x=d/2 mehr als 58 Aufträge eingehen, zustande kommt.Wenn ich n=100 und p=0,58 nehme, ergibt sich in der Tat die Wahrscheinlichkeit von 46 %, dass mehr als 58 Aufträge reinkommen. Aber es ist doch nicht so - wenigestens wie ich mein Problem verstehe -, dass zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit eines Auftragseingangs gleich 0,58 ist. |
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| 29.11.2005, 00:53 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Mittel 58 klingt schon ganz anders. Aber dann ist diese Formulierung absolut irreführend:
Und aus den folgenden Worten spricht ebenfalls eine geradezu bodenlose Naivität, als ob das alles deterministisch abläuft:
Das gesamte Spektrum an Verspätungen kann auftauchen, mit mehr oder minder großer Wahrscheinlichkeit. Das gesamte Problem ist theoretisch derart komplex (wobei du allerdings noch gar nicht gesagt hast, welches Kriterium für dich bei der Reduzierung der Fahrerzahl maßgebend ist) - in der Größe allerdings wiederum so klein, dass sich eine Simulation geradezu anbietet. Warum tust du nicht das? |
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| 29.11.2005, 01:01 | well | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich will aber nicht das gesamte Spektrum abarbeiten, sondern wissen, um wieviel Minuten es durchschnittlich (bzw. als Mittelwert ausgedrückt) zu Verspätungen kommt. Wie kann man das Simulieren? |
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| 29.11.2005, 01:12 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na wie wohl: 100 normalverteilte Zeitpunkte auswürfeln, und zeitlich ordnen. Dann die Zeitachse entlanggehen, zu jedem Auftragszeitpunkt t die Markierung t+8 setzen, wo der Fahrer wieder frei wird. D.h., natürlich nur, falls du noch unter der Maximalfahrerzahl bist. Bist du drüber, musst du natürlich noch entscheiden, welchen Auftrag ein frei werdender Fahrer übernimmt. In der Regel wird das der schon am längsten wartende sein, oder? Und, und, und - der Teufel steckt dann noch im Detail. Aber der grobe Rahmen einer solchen Simulation liegt doch glasklar auf der Hand. Und das ganze machst du 1000000-mal, dann hast du schon eine ganz gute Vorstellung von der Geschichte. Die Programmierung dauert ein paar Stunden oder auch Tage; der eigentliche Simulationslauf auf modernen PCs eher dann ein paar Sekunden. |
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| 29.11.2005, 09:32 | well | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, leider ist also eine Formel zu komplex. Das hatte ich befürchtet. Na, dann werde ich mal simulieren. Vielen Dank für die Ausleuchtung des Problems! Ich seh jetzt klarer. |
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