Basis des R³

28.11.2005, 17:04

N.Schmidt

Basis des R³

Wie muss die Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren eine Basis des R³ bilden?

(-1,2,a); (-1,a,2); (a,-1,2)

Ansatz:

Die Vektoren müssen l.u. sein, damit sie eine Basis bilden.

I) $\begin{eqnarray*} -r1 - r2 +ar_3 = 0 \end{eqnarray*}$

II) $\begin{eqnarray*} 2r_1 + ar_2 -r_3 = 0 \end{eqnarray*}$

III) $\begin{eqnarray*} ar_1 + 2r_2 + 2r_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Schritt 1)

(2*Gleichung I - Gleichung II) // r1 eliminieren
I) $\begin{eqnarray*} -2r_2 - ar_2 + 2ar_3 + r3 \end{eqnarray*}$

Schritt 2

(Gleichung II * a | Gleichung III * 2)
II - III

$\begin{eqnarray*} a²r_2 - 4r_2 - ar_3 - 4r_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a²r_2 - 4r_2 = ar_3 + 4r_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_2(a²-4) = (a-4)r_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r2 = \frac{(a-4)r_3}{a²-4} \end{eqnarray*}$

Schritt 3
r2 einsetzen in I

$\begin{eqnarray*} (-2-a) * ( \frac{(a-4)r_3}{a²-4}) + 3a*r_3 = 0 \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle hapert es unglücklich

Ich schaff es nicht, die Gleichung aufzulösen...

1.) Stimmt meine Rechnung so?
2.) Wie gehts weiter?

Vielen Dank für eure Hilfe!
Knobel jetzt schon über eine Stunde an der Aufgabe...

28.11.2005, 19:10

klarsoweit

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RE: Basis des R³
Wenn du den Begriff der Determinanten kennst, würde ich es darüber machen.

28.11.2005, 19:16

N.Schmidt

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Den Begriff kenne ich leider noch nicht.

28.11.2005, 19:36

JochenX

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RE: Basis des R³