Taylor-Reihenentwicklung aufgabe hats in sich

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christian Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor-Reihenentwicklung aufgabe hats in sich
hallo,

wir sollen zu der folgenden funktion die Taylor-Reihenentwicklung aufstellen:

f(x)= 1 / (x-e)

ich hoffe, dass ich richtig davon ausgehe, dass man diese Fkt. bis zur (n+1)ten ableitung ableiten muss, um eine richtige reihe auftstellen zu können.

die erste ableitung ist noch recht einfach:

f´(x)=-(1-e) / (x-e)^2

aber die anderen ableitungen sind schon hammer. evtl mach ich was falsch, aber an sich kann man doch hier nur noch die quotientenregel (dann incl kettenregel) verwenden um das ding aufzudröseln.

könnte mir bitte jmnd weiterhelfen, da mir das ding einfach zu groß wird.

achja die Konvergenz sollen wir auch noch zeigen. könntet ihr mir das auch gleich noch mit erklären ?

danke schonmal

mfg

christian
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

Hm,

ist es nicht so

f(x) = 1/(x-e)
f'(x) = -1/(x-e)²
f''(x) = 2/(x-e)³
f'''(x) = -6/(x-e)^4
...
...
 
 
christian Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm jetzt muss ich irgendwo nen denkfehler haben.

ich leite die aufgabe folgendermaßen ab:

erste variante: quotientenregel:

f(x)=1/(x-e)

u= 1 u`= 0
v= x-e v`= 1-e

formel: f`(x)=(u`*v - u*v`) / v^2

daher:

(0*(x-e) - (1*(1-e) / (x-e)^2 = -(1-e) / ( x-e)^2

oder ich hol den nenner hoch:

(x-e)^-1 = -((x-e)^-2) * (1-e) = -(1-e) / (x-e)^2

oder ich seh den wald vor lauter bäumen nicht mehr. hab glaube heut zu viel abgeleitet smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von christian
hmmm jetzt muss ich irgendwo nen denkfehler haben
....


.. und was für einen!

Die Ableitung von von (x - e) ist 1 und NICHT 1 - e !!
e ist eine Konstante!

Ausserdem braucht es für 1/(x-e) nicht die Quotientenregel; es genügt, den Ausdruck mit negativem Exponenten zu schreiben und dann nach der Kettenregel abzuleiten (innere Ableitung ist 1):





Gr
mYthos
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juergen
Hm,

ist es nicht so

f(x) = 1/(x-e)
f'(x) = -1/(x-e)²
f''(x) = 2/(x-e)³
f'''(x) = -6/(x-e)^4
...
...


Und da erkennt man dann mit etwas Phantasie doch auch, was die n-te Ableitung ist, oder?

Gruß vom Ben
christian Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm dann ist die aufgabe ja garnicht mehr so schwer, wie ich dachte. ich hab mich durch das e täuschen lassen. hab an e^x gedacht beim ableiten und das bleibt ja e^x. naja ok den fehler werde ich sicherlich nicht nochmal begehen.

was jetzt die konvergenz angeht. dann ist die reihe also eine alternierende , weil sich das vorzeichen ändert. sprich man muss das majoranten/minorantenkriterium verwenden. leider hab ich zar das grundprinzip verstanden, jedoch weiß ich nicht genau wie man das kriterium trotzdem anwendet. quotienten und wurzel ist da schon wesentlich einfacher. könnt mir da einer der herren noch helfen ?

danke nochmals für die unterstützung.

angenehme nachtruhe

christian
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Alternierende Reihe schreit doch nach Leibniz-Kriterium oder nicht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische Reihe
Das ist doch einfach nur eine leicht variierte geometrische Reihe. Die geht ja bekanntermaßen so:

für |t|<1

Und bei der folgenden Umformung muß man am Schluß nur t durch x/e substituieren:



Und das Ganze gilt für |x/e|<1, also für |x|<e
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