Heronverfahren - Konvergenzordnung

28.11.2005, 18:16	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Heronverfahren - Konvergenzordnung Hi... ich hab ja schon viele threads zum Heronverfahren für quadratische Wurzeln gefunden - das Problem ist, dass bei uns das ganze für beliebige Wurzeln gezeigt wurde: mit folgendem Verfahren bestimmt man die m-te Wurzel aus b: es sei: $\begin{eqnarray} a^m > b \end{eqnarray}$ dann ist: $\begin{eqnarray} a_1 = a \end{eqnarray}$ ( siehe oben ) $\begin{eqnarray} a_{n+1} = (1- \frac{1}{m})a_n + \frac{1}{m}\frac{b}{a_n^{m-1}} \end{eqnarray}$ für die Quadratwurzel aus b ergibt sich somit m=2 also: $\begin{eqnarray} a_{n+1}=1/2an + 1/2\frac{b}{a_n} \end{eqnarray}$ wir haben jetzt für m=2 in der Vorlesung die quadratische Konvergenz bewiesen - zu Hause sollen wir es für beliebige m machen... - mein Problem ist der Ansatz, den der Prof hatte. wir haben Konvergenzordnung erstmal so definiert: falls es Konstanten c1,c2 > 0 gibt mit: $\begin{eqnarray} c1 \leq \frac{\|a_{n+1} - a\|}{\|a_n - a\|^k} \leq c2 \end{eqnarray}$ , dann ist k die Konvergenzordnung der Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ( wobei a der Grenzwert der Folge ist! ) Wie sieht dann der entsprechende Ansatz für beliebige m aus?
30.11.2005, 15:27	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, kriegt das denn niemand raus?
30.11.2005, 15:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht bringst du erstmal Ordnung in deine Bezeichnungen: Erst ist $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ der Startwert der Folge, mit der Bedingung $\begin{eqnarray} a^m> b \end{eqnarray}$ . Dann aber zum Schluss ist $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ plötzlich der Grenzwert der Folge, d.h. $\begin{eqnarray} a=\sqrt[m]{b} \end{eqnarray}$ . Zum Thema: Soweit ich mich erinnere, ist das ja ein Spezialfall des Newtonverfahrens, also $\begin{eqnarray} a_{n+1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} \end{eqnarray}$ , hier mit $\begin{eqnarray} f(x)=x^m-b \end{eqnarray}$ . Und das hat doch Konvergenzordnung 2, gleich wie groß der Exponent $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ ist.
30.11.2005, 20:10	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ja sorry - hätte den Grenzwert anders bezeichnen müssen... aber gibt es noch nen anderen Weg? - weil ich glaube das mit Newton Verfahren zu zeigen kauft mir der Prof nicht ab, denn wir sind ja noch nicht mal bei Ableitungen und es wird immer gefordert kein "unbekanntes" Wissen zur Lösung der Aufgaben zu benutzen...

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