Probleme bei komplizierter Beweisdurchführung

27.04.2008, 18:22

Assyrian4ever

Probleme bei komplizierter Beweisdurchführung

Hallo liebe Community!

In der Mathematikvorlesung haben wir u.a. folgende Aufgabe erhalten, in der wir beweisen sollen, dass die gegeben Funktion am vorgegebenen Wert ihr Minimum hat.

Aufg. Zeigen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) = \sum_{i=1}^n~(t-xi)² \end{eqnarray*}$
an der Stelle $\begin{eqnarray*} t = \frac{1}{n} * \sum_{i=1}^n~xi \end{eqnarray*}$ ihr Minimum annimmt!

Wie muss man da vorgehen. und wie leitet man eine solche Funktion ab????

Ich bitte um eure schnelle Hilfe.

27.04.2008, 19:15

WebFritzi

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RE: Probleme bei komplizierter Beweisdurchführung

Zitat:

Original von Assyrian4ever
wie leitet man eine solche Funktion ab????

Ganz normal, wie in der Schule. SChreib dir doch mal die Summe hin - mit "Pünktchen, Pünktchen, Pünktchen" in der Mitte.

27.04.2008, 20:33

Assyrian4ever

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Hmm okey...also wenn ich den Ausdruck für f(t) ausschreibe, erhalte ich folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} f(t) = (t-x1)²+....+(t-xn)² \end{eqnarray*}$

Was ist denn dann die Ableitung davon????

27.04.2008, 21:10

WebFritzi

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Das ist doch sowas von trivial. Leite jeden Summanden einzeln ab (nach t).

27.04.2008, 21:34

Assyrian4ever

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Hmm okey...also ich würd sagen für die Ableitung müsste folgendes ruaskommen dann:

$\begin{eqnarray*} f`(t) = -2*n*(t-xn) \end{eqnarray*}$

27.04.2008, 23:01

WebFritzi

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Nein!

28.04.2008, 19:40

Duedi

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Hm führt Ableiten (und das damit verbundene Standardverfahren mit "Erste-Ableitung-gleich-Null-setzen") überhaupt zum Ziel? Die Funktion f(t) ist ja schließlich eine Treppenfunktion, oder irre ich mich?

28.04.2008, 19:51

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Nein, die Funktion ist eine stinknormale Parabel. Man kann z.B. durch geschicktes Zusammenfassen der Summen die Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(t) = n(t-\bar{x})^2 + f(\bar{x}) \end{eqnarray*}$

nachweisen, wobei $\begin{eqnarray*} \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \end{eqnarray*}$ ist. Dann folgt ganz ohne Differentialrechnung die geforderte Minimaleigenschaft.

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