Reihen als Funktionen darstellen

28.11.2005, 20:40

Seniorina

Reihen als Funktionen darstellen

Hallöchen!

Hab da ein kleines Problem mit einer Aufgabenstellung!

Ich soll Reihen als Funktionen der Form f(x)=g(x)/h(x) mit Polynomen g und h darstellen!

Die Reihen sind

1) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ x^{n} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ nx^{n} \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ n^{2}x^{n} \end{eqnarray*}$
4) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ n^{3}x^{n} \end{eqnarray*}$

Also, ich schätze, wenn ich die 1) rauskriege, kann ich die anderen auch lösen.

Weiß aber überhaupt nicht, wie ich das machen soll, da nichts von
$\begin{eqnarray*} \mid x \mid \end{eqnarray*}$ < 1 steht und die Reihe bei n=1 anfängt, ist es wohl nicht die geometr. Reihe.

Wie könnte man das sonst lösen??

Hoffe, mir könnte jemand weiterhelfen!

28.11.2005, 21:10

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RE: Reihen als Funktionen darstellen

Zitat:

Original von Seniorina
Weiß aber überhaupt nicht, wie ich das machen soll, da nichts von
$\begin{eqnarray*} \mid x \mid \end{eqnarray*}$ < 1 steht

Für $\begin{eqnarray*} |x|\geq 1 \end{eqnarray*}$ sind alle deine Reihen divergent, und da ist dann die Aufgabe sinnlos. Also geh ruhig von $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ aus!

Zitat:

Original von Seniorina
und die Reihe bei n=1 anfängt, ist es wohl nicht die geometr. Reihe.

Geometrische Reihe bleibt geometrische Reihe - gleich bei welchem Index sie "anfängt". Nur bei der Berechnung des Reihenwertes musst du das natürlich berücksichtigen.

Noch ein Hinweis: Potenzreihen sind innerhalb ihres Konvergenzradius gliedweise differenzierbar, diese Ableitung hat dann denselben Konvergenzradius wie die Ausgangsreihe.

28.11.2005, 21:30

Seniorina

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Danke für die Antwort!!! ;-)

Wenn ich also davon ausgehe, dass $\begin{eqnarray*} \mid x \mid \end{eqnarray*}$ < 1 ist, dann könnte ich doch die Reihe so schreiben

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~x^n \end{eqnarray*}$

=1 - \sum_{n=0}^\infty ~x^n

= 1 - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

= \frac{-x}{1-x}

Das wars dann schon??? Oder liege ich da völlig falsch?

28.11.2005, 21:33

Seniorina

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Ops!

Das nach dem "=" soll eigentlich heißen:

$\begin{eqnarray*} 1 - \sum_{n=0}^\infty ~x^n \end{eqnarray*}$

28.11.2005, 21:37

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Natürlich andersrum! Also

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~x^n = -1+ \sum_{n=0}^\infty ~x^n \end{eqnarray*}$

28.11.2005, 21:38

Seniorina

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Ja klar! ;-)

Kann ich dann für g(x) = -x und h(x) = 1-x

Das wars dann ja eigentlich schon. Oder?

28.11.2005, 21:40

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Naja, den Vorzeichenfehler hast du da noch nicht beseitigt - aber ansonsten war's das für i).

Und für ii)-iv) über meinen Hinweis mit den Ableitungen nachdenken.

28.11.2005, 21:41

Seniorina

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Ok!!!

Riensendankeschön für die Hilfe!!!!!!

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Reihen als Funktionen darstellen

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