Komplexe Zahl auf Normalform bringen

28.11.2005, 20:57

Passepartout

Komplexe Zahl auf Normalform bringen

Schönen guten Abend,

ich habe folgenden Term auf die Normalform für komplexe Zahlen zu bringen; wollte kurz meinen Ansatz vorstellen und fragen, ob dieser geeignet ist. Scheint mir sehr umfangreich zu werden, für solch eine kleine Sache ;-)

Ok, dann mal los:
Gegeben sei $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^n + \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ .
Bringen Sie den Term auf die Form $\begin{eqnarray*} z = a + ib \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Ok, offensichtlich ist ja zunächst, dass man $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2})^{-n} \end{eqnarray*}$ ausklammern kann:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{(\sqrt{2})^n} (~(1-i)^n + (1+i)^n) \end{eqnarray*}$

Nun habe ich das ein paar mal berechnen lassen und bin auf folgende Ergebnisse gekommen, die ich nun beweisen möchte:

$\begin{eqnarray*} \text{für }k = 4n : z &=& (-1)^k\\\text{für }k = 4n-1 : z &=& (-1)^k\cdot \frac{1-i}{\sqrt{2}}\\\text{für }k = 4n-2 : z &=& (-1)^{k+1}\\\text{für }k = 4n-3 : z &=& (-1)^{k+1}\cdot \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Das könnte man ja prinzipell immer mit Induktion nach k beweisen, nur stelle ich mir das insgesamt zu umständlich vor... vielleicht hat ja jemand einen anderen Ansatz?

Lieben Gruß Wink

,
Michael

28.11.2005, 21:31

Auf diesen Beitrag antworten »

Bring mal $\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1-i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ in Polarform, da kannst du dann die Potenzen besser darstellen - insbesondere bei diesen beiden speziellen Basen.

28.11.2005, 21:41

Passepartout

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Arthur,

Danke für Deine Hilfe. Ich weiß nur nicht, ob wir schon die Polarform benutzen dürfen, da wir das noch nicht explizit in der Vorlesung gezeigt haben; gibt ja immer mal wieder skeptische Professoren :-P

Mit Polarform meinst á la $\begin{eqnarray*} e^{i\varphi} \end{eqnarray*}$ nicht wahr?

dann wird das n wahrscheinlich ja einfach nur ein Faktor vor dem i?
Merkst, hab da nicht so viel Ahnung unglücklich

Gruß,
Michael

28.11.2005, 21:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, wenn du das vermeiden willst, eine andere Möglichkeit:

Berechne mal getrennt $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^n \end{eqnarray*}$ wenigstens für $\begin{eqnarray*} n=0,1,\ldots,8 \end{eqnarray*}$ , dann müsstest du eigentlich was sehen.

28.11.2005, 23:47

Passepartout

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ihr!

Habe nun mal ein wenig gerechnet, aber das mich das nun weiterbringt wäre nicht so ganz der Wahrheit entsprechend.
Vielleicht sollte ich das doch einfach über die Polarform machen, wenn das viel einfacher ist verwirrt

Wäre toll, wenn Ihr mir noch einen Tipp geben könntet.

Danke, Michael

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:

 n  | (1+i)^n  | (1-i)^n  | (1+i)^n - (1-i)^n
----+----------+----------+--------------------
 1  |  1 +   i |  1 -   i |   2i
 2  |       2i |    -  2i |   4i
 3  | -2 +  2i | -2 -  2i |   4i
 4  | -4       | -4       |    0
 5  | -4 -  4i | -4 +  4i |  -8i
 6  |    -  8i |       8i |    0
 7  |  8 -  8i |  8 +  8i | -16i
 8  | 16       | 16       |    0
 9  | 16 + 16i | 16 - 16i |  32i
 10 |      32i |    - 32i |  64i
 11 |-32 + 32i |-32 - 32i |  64i
 12 |-64       |-64       |    0
 13 |-64 - 64i |-64 + 64i |-128i

28.11.2005, 23:57

cst

Auf diesen Beitrag antworten »

Also mir fällt auf, daß in der rechten Spalte deiner Tabelle ein Minus zwischen den beiden Termen (Potenzen) steht, in der Aufgabenstellung sollen die Potenzen aber addiert werden. Oder guck ich falsch?

29.11.2005, 00:07

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Berechne mal getrennt $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^n \end{eqnarray*}$

Du hast $\begin{eqnarray*} \left(1+i\right)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(1-i\right)^n \end{eqnarray*}$ berechnet! Korrigiere mal den Faktor, dann wirst du Periodizität der Länge 8 feststellen.

29.11.2005, 00:08

Passepartout

Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich,

Du hast recht!, ok, mal schnell anpassen Augenzwinkern

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:

 n  | (1+i)^n  | (1-i)^n  | (1+i)^n + (1-i)^n
----+----------+----------+--------------------
 1  |  1 +   i |  1 -   i |   2
 2  |       2i |    -  2i |   0
 3  | -2 +  2i | -2 -  2i |  -4
 4  | -4       | -4       |   0
 5  | -4 -  4i | -4 +  4i |  -8
 6  |    -  8i |       8i |   0
 7  |  8 -  8i |  8 +  8i |  16
 8  | 16       | 16       |   0
 9  | 16 + 16i | 16 - 16i |  32
 10 |      32i |    - 32i |   0
 11 |-32 + 32i |-32 - 32i | -64
 12 |-64       |-64       |   0
 13 |-64 - 64i |-64 + 64i |-128

Ok, nun ist schon ein Muster zu erkennen.
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2}\in\mathbb{N} \Rightarrow z=0 \end{eqnarray*}$ (schreibt man das so, wenn man gerade n's meint?
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2}\in\mathbb{N} \Rightarrow z= (-1)^{\xi} 2^{\frac{n+1}{2}} \end{eqnarray*}$
wobei ich noch schaun muss, wie das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ aussieht.

Und das könnte man nun per Induktion beweisen?

Lieben Gruß Wink

,
Michael

29.11.2005, 00:54

cst

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2}\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ kann man auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} n=2k; k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und analog für ungerade: $\begin{eqnarray*} n=2k+1; k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , deine Version geht aber auch.

Für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ schlage ich vor: $\begin{eqnarray*} \xi=(n+2) div 4 \end{eqnarray*}$ , falls man das so schreiben darf.

Einen Induktionsbeweis krieg ich auch nicht hin traurig

29.11.2005, 01:00

cst

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso:

Teile mal die Ergebnisse in der rechten Spalte durch den bisher vernachlässigten Faktor $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2})^n \end{eqnarray*}$ .

Dann siehst du, dass (bis auf Faktor 2) immer die Werte des Kosinus rauskommen, dessen Argument in 45 Grad-Schritten wächst.

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Zahl auf Normalform bringen

Verwandte Themen