Konvergenzkriterien

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Krümel Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzkriterien
Halli Hallo!!!
Ich soll einige Reihen auf Konvergenz untersuchen.

1.

Kann ich dann mit dem Majorantenkriterium folgenden Weg nehmen:



Da ich dann im Nenner hab, konvergiert die Folge gegen 0. Richtig?
Die größte Schwierigkeit ist hier (hoffe ich) das korrekte Aufschreiben.

2.

Wollt ich genau so machen, komm aber auf keinen grünen Zweig.

Wär lieb, wenn mal jemand drüber schauen könnte.
DANKE
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

beachte: es geht nicht um folgen, es geht um REIHEN

beachte weiterhin: die reihe über 1/n^2 konvergiert, die über 1/n divergiert
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Sag jetzt nicht, dass ich ganz falsch liege???
Wir haben heut ein analoges Beispiel gehabt und ich hab gedacht, ich häts verstanden. Was meinst du mit es geht um Reihen?Ganz ehrlich den Unterschied zwischen Reihen und Folgen hab ich immer noch nicht verstanden und uns da auch noch keiner drauf hingewiesen.
Kannst du mir das bitte erklären???
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt genau genommen keinen Unterschied zwischen Folgen und Reihen. Jede Reihe ist als Folge definiert und jede Folge kann durch eine Reihe dargestellt werden. Aber das is der Krümelkackerkram. Augenzwinkern
Eine Reihe ist einfach eine Folge von Partialsummen, d.h. für eine Folge wird die Folge



auch Reihe genannt. Das Wort Reihe wird aber auch für benutzt und besteht in diesem Zusammenhang somit aus unendlich vielen Summanden.

Zitat:
Original von Krümel


Da ich dann im Nenner hab, konvergiert die Folge gegen 0. Richtig?

Nach dem ersten Kleinerzeichen hast du auf einmal anstelle von geschrieben, ein Schreibfehler oder? Außerdem verstehe ich das zweite Kleinerzeichen und das anschließende Gleichheitszeichen nicht. Beachte auch, dass deine Abschätzung nicht für alle gilt, die es in der Reihe durchlaufen soll. Dort soll es nämlich bei beginnen. Deine Abschätzung gilt also nur für , was aber nicht tragisch ist, weil endlich viele Glieder am Konvergenzverhalten nichts ändern.
Was du noch beachten musst: Es hilft dir nicht viel, zu wissen, dass die Folge



gegen 0 konvergiert. Wenn die Glieder gegen 0 konvergieren, bedeutet das noch nicht, dass die Reihe konvergiert! Siehe LOEDs Beispiel der harmonischen Reihe. Allerdings hast du hier in der Tat eine konvergente Majorante gefunden. Soll heißen: Deine Überlegungen sind richtig, nur der Satz danach mit dem gegen 0 konvergieren ist keine Begründung für die Konvergenz. Den solltest du dort rausnehmen und einfach nur mit dem Majorantenkriterium arbeiten.
Bei der zweiten Reihe kannst du eine divergente Minorante finden, nämlich die harmonische Reihe (mit einem Faktor davor).

Gruß MSS
Krümel Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich ja schon mal beruhigt.

Also, die 32 soll da natürlich nicht stehen - Schreibfehler.
Nach dem ersten Gleichheitszeichen hät ich gern schon das Ergebnis hingeschrieben, aber es heißt immer, dass wir unsere Wege deutlich machen sollen, deshalb hab ich da "noch mehr" hingeschrieben.
Aus deiner Antwort interpretiere ich, dass mein Ergebnis aber richtig ist.

Es verwundert mich etwas, dass das Gesamtergebnis nicht so zu folgern ist. Mein Tutor folgerte genau so.
Nun gut, man will es ja besser machen.
Reicht es denn zu schreiben, dass das Majorantenkriterium gilt und damit die Reihe konvergiert?Denn wenn ich richtig verstanden habe, kann ich so einfach gar nicht folgern, dass die Reihe gegen 0 konvergiert.
Werd mich nun mal an dem zweiten Fall probieren.
Schon mal Danke.

Wäre lieb, wenn mir jemand nochmal sagen könnte, wie ich das jetzt wirklich in eine schöne formale Form bringen kann.

DANKE
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kannst du nicht folgern,dass die Reihe gegen 0 konvergiert.

Beachte,dass



gilt.

Der Wert der Reihe ist also nicht 0.

Formal ist das weitgehend richtig,was du geschrieben hast.Denn die Aufgabe lautet ja nur,dass du auf Konvergenz untersuchen sollst.Wenn du also die Reihe durch eine konvergente Reihe majorisieren kannst ist der Beweis fertig
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Krümel
Denn wenn ich richtig verstanden habe, kann ich so einfach gar nicht folgern, dass die Reihe gegen 0 konvergiert.

Du hast tatsächlich noch Probleme, zwischen Folgen und Reihe und vor allem deren Gliedern zu unterschieden.
Nur weil geht, heißt das noch lange nicht, dass auch gegen 0 geht. Wie soll das auch gehen? Bei diesem Beispiel sieht man das gut:

.

Hier ist doch der erste Summand 1 und damit ist doch die Reihe auf jeden Fall schon größer als 1, weil alle andere Glieder auch positiv sind. Es stimmt zwar, dass ist, das hat aber nichts mit dem Reihenwert zu tun!

Gruß MSS
Gäst Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie siehts mit der 2. aus? Kann mir da jemand helfen?
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du nur gebrochene Polynome hast, schau Dir die Ordnung der Polynome an. Im ersten beispiel war der Zähler von der Ordnung 2 under Nenner von der Ordnung 4. Das hat also ein Konvergenzverhalten wie 1/n^2.

Es kommt nur auf den höchsten Exponenten an, denn die niedrigeren spielen irgendwann keine Rolle mehr.

Allgemein hab ich mir das mit den Ordnungen und Konvergenzgeschwindigkeiten immer so gemerkt. Folgende Verhältnisse stellen sich für große n ein und sind übrigens auch mit vollständiger Induktion beweisbar:



wächst schneller als



wächst schneller als

(bei festem )

wächst schneller als



wächst schneller als



Noch ne Zusatzinfo:

(bei festem )

gäst Auf diesen Beitrag antworten »

D.h. dass die Reihe bei 2. ein Konvergenzverhalten hat wie 1/n und somit divergiert?
Hab ich dich so richtig verstanden?
Trazom Auf diesen Beitrag antworten »

ja

jetz mach noch ein paar geeignete abschätzungen
gäst Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich muss ja zum Schluss sowas stehen habe wie aber darauf komm ich irgendwie nicht.
Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob ich das Vergleichtkrierium benutzen darf, denn ich meine ich hätte irgendwo gelesen, dass es nur für Reiher gilt, mit positiven Folgegliedern, und das haben wir hier ja nicht. verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gäst
aber ich muss ja zum Schluss sowas stehen habe wie aber darauf komm ich irgendwie nicht.

Die Abschätzung gilt zunächst nur, falls ist. Wir haben hier zwar nicht den Fall, dass alle Glieder positiv sind, aber fast alle. Und die anderen endlich vielen interessieren für die Konvergenz nicht!
Du musst es nicht noch kriegen, es reicht doch so, wie du es hast. Du hast da die harmonische Reihe ja nur mit einem positiven Faktor multipliziert, was an der Divergenz natürlich nichts ändert!

Gruß MSS
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal eine Frage zum ersten Beitrag von Trazom.

bei festem wächst doch nicht!

Muss das nicht sein?

Und bei dem Wurzelausdruck auch oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, du hast Recht. Beim ersten muss es heißen! Aber



gilt für alle !

Gruß MSS
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