irreduzibiltätskriterien für polynome

29.11.2005, 11:46

flixgott

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irreduzibiltätskriterien für polynome

hallo,
ich suche nach irreduzibiltätskriterien für polynome.
ich habe folgendes Polynom über den ganzen zahlen X^5+4 und ich soll zeigen, dass sich nicht in weitere faktoren zerlegen läßt.
dass es in den ganzen zahlen keinen nullstellen hat, ist kein argument, denn das gilt nur für grad 2 oder 3.
desweiteren habe ich noch das eisensteinkriterium gefunden, das besagt folgendes (auf faktoriellen ringen, aber Z ist ja so einer):
wenn gilt:
-) ggt(aller koeffizienten)=1
-) es ex. ein p mit p teilt nicht den koeffizienten vor X in der höchsten potenz, p teilt alle anderen kloeffizienten und p² teilt den letzten koeffizienten nicht.
dann ist das polynom auch irreduzibel.

das problem ist folgendes: zum einen gilt die umkehrung nicht (nur weil ich kein p finde heißt das noch nicht, dass das polynom reduzibel ist) und p=2 (oder -2) währe der einzige mögliche kandidat, aber dann teilt p² den letzten koeffizienten.
ich gehe stark davon aus, dass das polynom wirklich nicht reduzibel ist, hab aber keine idee mehr, wie ich das argumentieren könnte, da die beiden kriterien nicht greifen und ich kein weiteres gefunden hab!

ich bedanke mich jetzt schon für evt. hilfestellungen!

29.11.2005, 12:12

AD

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Ich versteh ja nicht so besonders viel davon, aber wie wär's mit folgender Idee: Im komplexen ist ja die Linearfaktorzerlegung klar:

$\begin{eqnarray*} x^5+4 = x^5-4\,e^{\pi\,i} = \prod\limits_{k=0}^4 ~ \left(x-\sqrt[5]{4}\,e^{(2k+1)\frac{\pi}{5}i} \right) \end{eqnarray*}$

Jeder dieser Linearfaktoren liegt nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[x] \end{eqnarray*}$ , aber auch das Produkt von jeweils zwei dieser fünf nicht. Das sollte eigentlich reichen für die Irreduzibilität.

29.11.2005, 12:23

20_Cent

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RE: irreduzibiltätskriterien für polynome

Zitat:

Original von flixgott
-) ggt(aller koeffizienten)=1
-) es ex. ein p mit p teilt nicht den koeffizienten vor X in der höchsten potenz, p teilt alle anderen kloeffizienten und p² teilt den letzten koeffizienten nicht.
dann ist das polynom auch irreduzibel.

hab ich das nur falsch verstanden?

1) ist ja erfüllt.
2) p=4: 4 teilt nicht 1. 4 teilt 4 (alle anderen). 4^2=16 teil nicht 4.
oder nicht?
mfG 20

29.11.2005, 12:31

AD

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RE: irreduzibiltätskriterien für polynome
$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ muss eine Primzahl sein!

29.11.2005, 12:33

flixgott

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RE: irreduzibiltätskriterien für polynome
@ arthur:

es ist ein polynom über den ganzen zahlen, d.h. es kommen als nullstellen und koeffiezienten auch nur ganze zahlen in frage (ist ein polynom über dem ring der ganzen zahlen als aus Z[X])

@ 20cent:

danke für deine antwort, sie wies mich auf einen fehler in meiner erklärung des eisensteinkriterium hin: p muß prim oder wenigesten irreduzibel (d.h. nicht in ein produkt von nichteinheiten zerlegbar) sein.

29.11.2005, 12:36

20_Cent

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achso, hätte ja sein können...
manchmal übersieht man das naheliegenste smile

smile

mfG 20

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29.11.2005, 12:39

flixgott

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genau das denke ich auch.. das polynom ist sooo einfach und da kann doch eine erklärung der irreduzibiltät nicht so schwer sein.. vorallem weil es ein typisches gegenbeispiel für die umkehrbarkeit des eisensteinschen kriterium ist!

29.11.2005, 12:44

AD

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RE: irreduzibiltätskriterien für polynome

Zitat:

Original von flixgott
@ arthur:

es ist ein polynom über den ganzen zahlen, d.h. es kommen als nullstellen und koeffiezienten auch nur ganze zahlen in frage (ist ein polynom über dem ring der ganzen zahlen als aus Z[X])

Du scheinst mich für blöd zu halten! Hab ich was anderes geschrieben? Ich hab nur die Einbettung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ genutzt.

29.11.2005, 15:32

flixgott

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also erstmal: ich halte niemanden a priori für blöd.. und dich schon gar nicht (hast mir auch in der w-theroie schon maßgeblich auf die sprünge geholfen..)

deine lösung ist schon ok. (DANKE!) aber halt sehr speziell.. mir ging es ja darum vielleicht zu erfahren, dass es noch mehr solche irreduzibilitätskriterien gibt...

29.11.2005, 16:24

Leopold

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Gelegentlich hilft beim Eisensteinkriterium der folgende Trick. Man substituiert die Unbestimmte durch ein lineares Polynom $\begin{eqnarray*} X=T+a \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g(T) = f(T+a) \end{eqnarray*}$

Die Irreduzibilität von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zieht nun die von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach sich. Im Beispiel $\begin{eqnarray*} f(X) = X^5 + 4 \end{eqnarray*}$ bietet sich die Substitution $\begin{eqnarray*} X = T+1 \end{eqnarray*}$ an.

29.11.2005, 16:29

flixgott

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das scheint kuhl zu sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke! das probier ich morgen mal aus!

29.11.2005, 19:39

AD

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Zitat:

Original von flixgott
deine lösung ist schon ok.

Freut mich zu hören, so sehe ich es nämlich auch. Deine obige Antwort klang mir zu sehr nach Belehrung und Zurechtweisung - und die ertrage ich nur, wenn sie berechtigt sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von flixgott
aber halt sehr speziell..

Ansichtssache - das Eisenstein-Kriterium ist auch sehr speziell. Und wenn man nachweist, dass die Polynome

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{z\in A}(x-z) \end{eqnarray*}$

für alle Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ der komplexen Nullstellenmenge des Polynoms $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq |A|\leq \frac{\mathrm{grad}(f)}{2} \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[x] \end{eqnarray*}$ liegen, ist das ja auch eine Methode. Setzt natürlich die Kenntnis aller komplexen Nullstellen voraus, das ist wahr.

29.11.2005, 20:15

Mihilist

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Bei Eisenstein benötigst du doch nur irgendeine Primzahl, die den Leitkoeff nicht teilt, alle anderen VON NULL VERSCHIEDENEN Koeff. schon, und dessen Quadrat den letzten Koeffizienten wiederum nicht teilt.

Wie wäre es mit p = 5? Oder p = 31?

Allerdings gilt es nicht, die komplexen Nullstellen auszurechnen - dann müsstest du noch nachweisen, dass auch sämtliche Produkte dieser linearen Zerlegung keine Polynome in Z ergibt.

Bsp: (X - sqrt(3))*(X + sqrt(3)) = X² - 3

Bin grad nicht sicher, ob das mit komplexen Zahlen auch vorkommen kann - aber mir fällt so spontan kein triftiger Grund ein, warum es nicht vorkommen können sollte Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.11.2005, 20:24

AD

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Zitat:

Original von Mihilist
Wie wäre es mit p = 5? Oder p = 31?

Das war wohl nichts: Schließlich muss auch $\begin{eqnarray*} p|a_0 \end{eqnarray*}$ , hier also $\begin{eqnarray*} p|4 \end{eqnarray*}$ gelten!!!

29.11.2005, 20:24

Mihilist

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Kleiner Denkfehler... p muss ja leider a_0 teilen smile

smile

Ok, anderer Ansatz: Offensichtlich haben wir keine Teiler vom Grad 1 (da die Nullstellen nicht in Z liegen). also kann es höchstens noch Teiler vom Grad 2 und 3 geben. Diese würden paarweise zusammengehören (da gradAB = gradA + gradB), also genügt es, wenn du keinen Teiler vom grad 2 findest.

Wenn du fleißig sein willst kannst du nun ja nun dein Polynom durch aX² + bX + c teilen und so zeigen, dass das so entstehende Gleichungssystem für a, b, c in Z nicht lösbar ist.

Sieht aber nach Arbeit aus... ;o)

Ich denke mal der Punkt ist, dass a_1 = ... = a_4 = 0 ist, und daher irgendwie was nicht passt, wenn du annimmst es gäbe Teiler, von daher gibt's bestimmt einen eleganteren Widerspruch, als das einfach zu dividieren... Big Laugh

Big Laugh

29.11.2005, 20:28

AD

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Wenn du genau nachliest, stehen diese Überlegungen in komprimierter Form auch bei mir oben. Im übrigen hat Leopold schon einen eleganten Weg gefunden, das Eisenstein-Kriterium doch anzuwenden: Durch Betrachtung von

$\begin{eqnarray*} f(x+1)=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+5 \end{eqnarray*}$

also mit $\begin{eqnarray*} p=5 \end{eqnarray*}$ .

29.11.2005, 20:38

Mihilist

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Oh, Tatsache, hab deinen letzten Halbsatz übersehen... Verzeihung.

Allerdings sehe ich die Substitution nicht ein, bzw: ich sehe nicht ein wieso sie eleganter ist als ein Widerspruch... Angenommen es gibt Teiler A, B mit gradA = 2, gradB = 3, so folgt sofort aus der Nullteilerfreiheit von Z, dass in AB nicht alle Koeffizienten außer dem ersten und letzten zu Null werden.

Zugegeben, Geschmackssache. Wenn man unbedingt Eisenstein anwenden will... Augenzwinkern

Augenzwinkern

(PS: Der Threatöffner fragte expliziet nach anderen Kriterien...)

29.11.2005, 21:04

irre.flexiv

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Es gibt noch einen interessanten (algorithmischen) Ansatz um das Problem zu lösen.

Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x] \end{eqnarray*}$ nicht irreduzibel, so auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p[x] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p\in \mathbb P \end{eqnarray*}$ .

Äquivalent dazu ist:
Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel, so auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x] \end{eqnarray*}$

Für kleine p, kann man die Sache relativ schnell lösen (mit dem Rechner natürlich *g).

Die kleinste Primzahl die das erfüllt ist hier 11.

30.11.2005, 11:57

flixgott

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die aufgabe ist nun gelöst und abgegeben..
ICH DANKE EUCH ALLEN für die tatkräftige unterstützung und die mich sehr voranbringenden ansätz!!

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