Was ist die Reziprokenregel

29.11.2005, 15:34

padori

Was ist die Reziprokenregel

Hallo Leute!
Ich hab ein Problem! Unzwar muss ich für meine LK Klausur am Do wissen wie ich Ableitungen mit Hilfe der Reziprokenregel bilde! Nur leider hab ich mal so gar keine Ahnung was das überhaupt für eine Regel ist und somit weiß ich auch nicht wie man sie anwendet...
Kann mir bitte irgendwer helfen? BITTE!!! traurig

Danke schon mal im Voraus

29.11.2005, 16:13

Leopold

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Vielleicht geht es um

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{f(x)} \ \ \Rightarrow \ \ g'(x) = - \frac{f'(x)}{\left( f(x) \right)^2} \end{eqnarray*}$

sofern $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar und von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ verschieden ist.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{\cos{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x) = - \, \frac{- \sin{x}}{\cos^2{x}} = \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \end{eqnarray*}$

06.07.2013, 13:53

Rubens

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Hallo Leute,

ich greife mal diesen Thread auf, in der Hoffnung, dass es für euch okay ist.
Wollte kein neues Thema eröffnen!

Es geht: .. um die Reziprokenregel. Ein eigentlich mir gut vertrautes und sympatisches Verfahren.

Folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{dC}{dC1} = \frac{1}{c1} + \frac{1}{c2} \end{eqnarray*}$

Leite ich mit der ReziRegel so ab: $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(c1)^2} \end{eqnarray*}$

Mein Dozent macht's mit "vermutlich "Brucherweiterung usw. Quotientenregel und kommt auf folgende, interesse Musterlösung:
$\begin{eqnarray*} \frac{(C2)^2}{(c1+c2)^2} \end{eqnarray*}$

Ich bin etwas verzweifelt.. ich bin mir sicher, dass seine Lösung nicht richtig ist.
Was sagt ihr dazu, was empfiehlt ihr mir für die Klausur nächsten Freitag?

Ich danke euch wie immer für eure tatkräftige Unterstützung!
Ehrerbietig - Rubens (c:

07.07.2013, 12:36

mYthos

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Zitat:

Original von Rubens
...
Folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{dC}{dC1} = \frac{1}{c1} + \frac{1}{c2} \end{eqnarray*}$
...

Das meinst du sicher so nicht, denn links steht schon eine Ableitung, welche ja erst im nächsten Schritt zu ermitteln ist. Zunächst hat links noch 1/C zu stehen.
Und warum schreibst du einmal die C groß, das andere Mal klein?
Die Aufgabe besteht also darin, die Ableitung von C nach C1 (dC/dC1) bei

$\begin{eqnarray*} \frac 1 C = \frac 1 {C_1} + \frac 1 {C_2} \end{eqnarray*}$

zu bestimmen.
Und dabei hat dein Dozent die richtige Lösung (die leicht auch auf anderem Wege zu verifizieren ist) und deine ist falsch, weil du die Kehrwert-(Reziproken-)Regel nicht konsequent genug angewandt hast.
Denn nach dieser ist

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd C}{\dd C_1} = C_{C_1} = - \frac {-\frac 1 {C_1^2}}{(\frac 1 {C_1} - \frac 1 {C_2})^2} \end{eqnarray*}$

Den Nenner hast du also komplett vergessen. Führe dies weiter aus ... (du erhältst die richtige Lösung des Dozenten)
Hier fragt man sich allerdings, welchen Vorteil die Kehrwertregel bieten sollte, diese ist hier eher eine Erschwernis. Denn aus

$\begin{eqnarray*} \frac 1 C = \frac 1 {C_1} + \frac 1 {C_2} \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} C = C_2 \cdot \frac {C_1}{C_1 + C_2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ als konstantem Faktor (hinsichtlich $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ ) und der Bruch ist ganz leicht nach $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ abzuleiten.

Zitat:

Original von Rubens
...
Ehrerbietig - Rubens (c:

Wenn du damit meinst, wir sind "Kaiser" (beim Rechnen), dürftest du - so gesehen - nicht ganz Unrecht haben Big Laugh

mY+

08.07.2013, 11:35

Rubens

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Zitat:

Wenn du damit meinst, wir sind "Kaiser" (beim Rechnen), dürftest du - so gesehen - nicht ganz Unrecht haben Big Laugh

Könnte man so verstehen Big Laugh

-----------------------------------------------------------------------------------

Okay, du hast recht! genau genommen sollte es eigentlich so sein:
$\begin{eqnarray*} Epsilon C= | \frac{dC}{dC1} | = \frac{1}{C1} + \frac{1}{C2} \end{eqnarray*}$
Bitte sei nachsichtig mit mir smile

Aber jetzt zum Wesentlichen:

Ich komme (leider) nach wie vor nicht auf das Ergebnis des Dozenten traurig

Ich mach's hier mal per Quotientenregel. Vielleicht ist's ja echt falsch wie ich's mache.

Und los geht: Freude

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{C1} + \frac{1}{C2} \end{eqnarray*}$ | Brucherweiterung

$\begin{eqnarray*} \frac{C2}{C1C2} + \frac{C1}{C1C2} \end{eqnarray*}$ | Summieren

$\begin{eqnarray*} \frac{C1+C2}{C1C2} \end{eqnarray*}$

Nach Q.-Regel
$\begin{eqnarray*} \frac{(C1+C2)'*(C1C2)-(C1+C2)*(C1*C2)'}{(C1C2)^2} \end{eqnarray*}$ |Ableiten

$\begin{eqnarray*} \frac{1*(C1C2)-(C1+C2)*C2}{(C1C2)^2} \end{eqnarray*}$ |Ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} \frac{(C1C2)-(C1C2)-C2^2}{(C1C2)^2} \end{eqnarray*}$ |Kürzen (C1C2)-(C1C2)

$\begin{eqnarray*} \frac{-C2^2}{(C1C2)^2} \end{eqnarray*}$

Leider nicht ganz...
Vielleicht kannst Du mich an der einen oder anderen Stelle korrigieren.
Bei deiner Kerhwertregel-Korrektur kann ich leider nicht ganz nachvollziehen wieso du es so machst. Um ehrlich zu sein, bin ich diesbezüglich etwas verunsichert, weil
zwei unabhängige "Online-Ableitungsrechner" etwas anderes sagen:
1.
und
2. Hier beim zweiten auch
Einzutragende Funktion: (1/x)+(1/y)
Vielen Dank soweit!!!! Gott

Beste Grüße nach Österreich ! (c:

08.07.2013, 22:36

mYthos

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Zitat:

Original von Rubens
...
Okay, du hast recht! genau genommen sollte es eigentlich so sein:
$\begin{eqnarray*} Epsilon C= | \frac{dC}{dC1} | = \frac{1}{C1} + \frac{1}{C2} \end{eqnarray*}$
Bitte sei nachsichtig mit mir smile

...

Das bin ich ja! Aber das stimmt noch immer nicht. Wieso steht links schon wieder eine Ableitung? Ausserdem ist diese Ausgangsgleichung schon falsch, weil dort 1/C stehen sollte.
Und was soll Epsilon sein?

Und WAS du hier ableitest ist NICHT C nach C1, sondern den Kehrwert (1/C) nach C1, also (1/C)' = d(1/C) / dC1. Benötigt wird aber C ', also dC/dC1 (!!).
Dies sind zwei völlig verschiedene Funktionen und deshalb müsste ja auch von Rechts wegen die Kehrwertregel angewandt werden.
Damit kannst du 10 Ableitungsrechner füttern und alle werden voraussichtlich auch die gleiche (richtige) Antwort retournieren, welche aber nicht Lösung deiner Aufgabe ist.

Rechne also bitte nochmal, so wie gezeigt, oder stelle die Gleichung erst nach C um und leite dann ab. Dann wirst du auch das Resultat des Dozenten erhalten.
Genaugenommen ist es eine einfache Aufgabe, die nicht unnötig verkompliziert werden sollte.

mY+

09.07.2013, 09:59

Rubens

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} C=C2* \frac{C1}{C1+C2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(C1C2)'*(C1+C2)-(C1C2)*(C1+C2)'}{(C1+C2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{C2*C1+C2^2-(C1C2)}{(C1+C2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{C2^2}{(C1+C2)^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich also streng nach deiner Vorgabe rechne, is es wirklich schnell UND richtig gelöst. Doch an dieser Stelle stellt sich mir die Frage, wieso es $\begin{eqnarray*} C=C2* \frac{C1}{C1+C2} \end{eqnarray*}$ ist. Nach meiner Umformung war es $\begin{eqnarray*} \frac{C1C2}{(C1+C2)} \end{eqnarray*}$
Ich schätze mein Kardinalproblem ist wohl das richtige Erweitern?
Also ich bitte um eine kurze Erläuterung. Das wäre mit sehr wichtig.
(Genauer: Wie komme ich von der Ausgleichsfunktion zu Schritt 1)

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Was den Rest angeht: Mittels $\begin{eqnarray*} | \frac{dC}{dC1} | \end{eqnarray*}$ dachte ich anzugeben, wonach ich ableite. Ich bin deswegen auch verwirrt, dass es falsch ist. unglücklich

Das Epsilon ist an dieser Stelle nicht weiter erwähnenswert. Gibt nur an, dass es sich um eine Größtfehlerberechnung handelt.
Ausgangsfunktion wäre tatsächlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{C}=\frac{1}{C1} + \frac{1}{C2} \end{eqnarray*}$

09.07.2013, 20:20

mYthos

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Zitat:

Original von Rubens
...
Doch an dieser Stelle stellt sich mir die Frage, wieso es $\begin{eqnarray*} C=C2* \frac{C1}{C1+C2} \end{eqnarray*}$ ist. Nach meiner Umformung war es $\begin{eqnarray*} \frac{C1C2}{(C1+C2)} \end{eqnarray*}$
...

Nun, wenn du da mal ganz scharf hinsiehst .. wo ist da der Unterschied? Meinst du nicht, dass das ohnehin dasselbe ist? Augenzwinkern

________________________

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd C}{\dd C_1} \end{eqnarray*}$ , das heisst die Ableitung von C nach C1 ist schon richtig, die ist ja gefragt, du hast dies nur an der falschen Stelle, dort wo $\begin{eqnarray*} \frac 1 C \end{eqnarray*}$ hingehört, geschrieben. Das Ganze wird erst in der nächsten Zeile abgeleiteit.
Dein nächster Fehler war/ist der, dass du den Term für $\begin{eqnarray*} \frac 1 C \end{eqnarray*}$ anstatt für $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ abgeleitet hast.
Willst du aus $\begin{eqnarray*} \frac 1 C \end{eqnarray*}$ - ohne vorher umzuformen - wirklich die Ableitung nach C1 berechnen, so musst du eben die Reziprokenregel anwenden, wie ich dir das einige Beiträge zuvor erläutert habe.
Damit kehren wir wieder zur Eingangsfrage zurück.

mY+

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