PQ-Formel und Eigenwerte einer hermite'schen Matrix

16.04.2004, 11:33

Ikarus2k

PQ-Formel und Eigenwerte einer hermite'schen Matrix

Grüß Gott,

also. hab das folgendes Problem:

Ich soll die Eigenwerte, Eigenvektoren, Transfomrations- und Diagonalmatrix folgender hermite'schen Matrix finden:

( 4 2i )
(-2i 1 )

Alles auch gemacht, nur schleicht sich bei mir irgendwo im Laufe der Rechnung ein Vorzeichenfehler ein (Schon bei Prüfung der Transfomrationsmatrix mit derer Inversen bekomme ich ne "negierte" Einheitsmatrix raus, sprich also mit negativen Einsen auf der Hauptdiagonalen).
Also kann da ja wohl was nicht so ganz stimmen Augenzwinkern

Ganz am Anfang von allem, wo ich die Eigenwerte der Matrix berechne, komme ich auf die quadratische Gleichung:

X² - 5x = 0

Soweit, so gut.
In die PQ-Formel eingesetzt sieht dann das Ganze so aus:

$\begin{align*} X1/2=\frac{5}{2}\pm\sqrt{(\frac{5}{2})^2-0} \end{align*}$

jetzt ist meine Frage:

Die Wurzel und die Potenz heben sich ja Gegenseitig auf. Hab ich als Ergebnis aud der rechten Seine dann -(5/2) oder +(5/2) da stehen, was ich dann nochmal mit 5/2 mit plus/minus verrechnen muß?
Hatte bisher das so da stehen:

$\begin{align*} X1/2=\frac{5}{2}\pm\frac{5}{2} \end{align*}$

Aber halt dann am Ende nen Vorzeichendreher gehabt.
Deswegen die Frage ob das vielleicht doch

$\begin{align*} X1/2=\frac{5}{2}\pm\frac{-5}{2} \end{align*}$

sein sollte?

Danke schonmal im Voraus!

Gruß,
Markus

16.04.2004, 12:39

Ben Sisko

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Ersteres ist schon richtig, das sieht man auch viel leichter, wenn man einfach ein x ausklammert, statt p-q-Formel anzuwenden.

Gruß vom Ben

16.04.2004, 14:06

Ikarus2k

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Hmm...aber irgendwo hauts dann trotzdem nicht hin!

Hier mal meine komplette Rechnung:

Ausgangsmatrix:

$\begin{align*} A=$\array{4&2i\\-2i&1$ \end{align*}$

dann ist

$\begin{align*} det(A-\lambda E)=\|\array{4i-\lambda&2i\\-2i&1-\lambda}\|=0 \end{align*}$

und somit

$\begin{align*} det(A-\lambda E)=((4-\lambda )\cdot (1-\lambda ))-((-2i)\cdot (2i)) \end{align*}$
$\begin{align*} =(4-4\lambda -\lambda +\lambda ^2)-(-4i^2) \end{align*}$
$\begin{align*} =(4-5\lambda +\lambda ^2)-(4) \end{align*}$
$\begin{align*} =4-5\lambda +\lambda ^2 -4 \end{align*}$
$\begin{align*} =\lambda ^2+5\lambda = 0 \end{align*}$

Durch Ausklammer der x oder pq-Formel bekommt man dann als Eigenwerte

$\begin{align*} \lambda 1 = 5 \end{align*}$

und

$\begin{align*} \lambda 2 = 0 \end{align*}$

Daraus werden nun die Eigenvektoren berechnet:

Für den 1. Eigenvektor:

$\begin{align*} A=$\array{4-\lambda &2i\\-2i&1-\lambda $ \end{align*}$
$\begin{align*} \Rightarrow A=$\array{-1&2i\\-2i&1-4$ \end{align*}$

womit man das Gleichungssystem

$\begin{align*} -x+2iy=0 \end{align*}$
$\begin{align*} -2ix-4y=0 \end{align*}$

erhält!

Die beiden Gleichungen sind voneinander linear abhängig, was zur Folge hat, daß man sich eine Gleichung raussuchen und eine Variable frei wählen darf, woraus sich dann die zweite Variable ergibt!

Für
$\begin{align*} -x+2iy=0 \end{align*}$

erhält man z.B. für x=1 y=-i

Somit erhält man den Eigenvektor

$\begin{align*} $\array{2\\-i}$ \end{align*}$

der durch Normierung den normierten Eigenvektor

$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{5}} $\array{2\\-i}$ \end{align*}$

ergibt.

Für den 2. Eigenvektor bleibt die Ausgangsmatrix erhalten:

$\begin{align*} A=$\array{4-\lambda &2i\\-2i&1-\lambda $ \end{align*}$

womit man das Gleichungssystem

$\begin{align*} 4x+2iy=0 \end{align*}$
$\begin{align*} -2ix+y=0 \end{align*}$

erhält!

Die beiden Gleichungen sind wieder voneinander linear abhängig, also daf man sich wieder eine Gleichung raussuchen und in dieser dann eine Variable frei wählen, woraus sich dann die zweite Variable ergibt!

Für
$\begin{align*} -2ix+iy=0 \end{align*}$

erhält man so z.B. für x=i y=-2

Daraus ergibt sich der Eigenvektor

$\begin{align*} $\array{i\\-2}$ \end{align*}$

und der normierte Eigenvektor

$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{5}} $\array{i\\-2}$ \end{align*}$

So, und da haben wir auch schon den Salat!
Die beiden normierten Eigenvektoren sollten nämlich nach meinem Wissen orthogonal zueinander sein, sind sie aber nicht!

Hat da jemand ne Ahnung wodran das liegt bzw. wo mein Fehler ist?
Ich rechne echt schon seit 2 Tagen an dieser Aufgabe, und immer bleib ich irgendwo hängen Hilfe

Hoffe hier findet sich jemand, der mir da weiterhelfen kann!

Gruß,
Markus
$\begin{align*} \end{align*}$

16.04.2004, 14:13

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Ikarus2k
womit man das Gleichungssystem

$\begin{align*} -x+2iy=0 \end{align*}$
$\begin{align*} -2ix-4y=0 \end{align*}$

erhält!

Hier ist der Feher. Der Eigenvektor wird ja auf sich selbst abgebildet, und nicht auf 0, also:

$\begin{align*} -x+2iy=x \end{align*}$
$\begin{align*} -2ix-4y=y \end{align*}$

Ich hoffe, das hilft dir, ab da hab ich nicht weitergelesen Augenzwinkern

Gruß vom Ben

16.04.2004, 14:32

Ikarus2k

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Hättest Du aber mal machen sollen Augenzwinkern

Das ist in der Form einer allgemeinen Lösung hingeschrieben!

Ausführlich hätte man auch erst noch

$\begin{align*} $\array{-1&2i\\-2i&-4}$ $\array{x\\y}$ = $\array{0\\0}$ \end{align*}$

hinschreiben können, woraus Du dann jedoch auch auf das Gleichungssystem kommst.

MfG,

Markus

16.04.2004, 14:40

Ben Sisko

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Ich verstehe dein Argument nicht. Ein Eigenvektor hat doch die Eigenschaft, dass er auf sich selbst abgebildet wird. Also musst du folgendes Gleichungssystem lösen:

$\begin{align*} (\array{-1&2i\\-2i&-4}\)%20$\array{x\\y}$%20=%20\(\array{x\\y})\ \end{align*}$

Die Nullen haben da nix verloren.
Kannst ja auch mal die Probe mit deinem "Eigenvektor" mahen, da siehst du, dass er keiner ist.

Gruß vom Ben

PS: Das hatte nix mit dem Weiterlesen zu tun Augenzwinkern

16.04.2004, 15:38

Ikarus2k

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Ich möchte ja den Eigenvektor (an der Stelle) erst noch berechnen!

*ausholt...*
Bei einer 2-reihigen Matrix A wird doch jedem Vektor x der Ebene durch die Transformationsgleichung

y = A x

in eindeutiger Weise ein Bildvektor y der gleichen Ebene zugeordnet.

Die Frage ist doch nun:
Gibt es bestimmte Richtungen/Werte für die Vektoren, in denen die beiden Vektoren kolliniear sind?

Werte, die ein solches Verhalten beschreiben, sind doch eben die Eigenwerte, woraus sich dann die Eigenvektoren ergeben.

->Matrixeigenwertproblem

Dadurch, daß der Urbildvektor x ja schon duch die Matrix indirekt festgelegt ist (man ihn also nur noch ausrechnen kann/muß), kann y nur noch eine Streckung oder Stauchung diesem sein, also:

$\begin{align*} y = A x = \lambda x \end{align*}$

Den Urbildvektroren genügt doch somit zur Beschreibung die Formel

$\begin{align*} A x = \lambda x = \lambda E x \end{align*}$

oder

$\begin{align*} (A-\lambda E)x = 0 \end{align*}$

womit wir ja beim Matrixeigenwertproblem wären!

Nach Lösung der charakteristischen Gleichung erhält man erstmal die Eigenwerte, aus denen es dann gilt die Eigenvektoren zu bestimmen.

Und da sagst Du, wenn ich Dich richtig verstehe, sei mein Fehler...

Ich hab mir jetzt noch mal in mein Mathe-Buch reingeschaut, und da steht ganz klar drin:

"Die Berechnung des zum Eigenwert Lamda-i gehörenden Eigenvektors x-i erfolgt dann aus dem homogenen linearen Gleichungssystem (A-Lambda-i*E)x-i = 0"

wobei i die errechneten Eigenwerte sind!

-Lothar Papula: Mathematik für Ingenierure und Naturwissenschaftler Band 2, Vieweg Verlag Braunschweig/Wiesbaden 2001

Somit müßte ich also über das homogene LGS von oben auf meine Eigenvektoren kommen,oder seh ich hier was gänzlich falsch?

MfG,

16.04.2004, 16:39

Ben Sisko

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Sorry, hab dir totalen Murks erzählt. hatte vergessen, dass man den EW schon berücksichtigt hat. Mein Kopf ist gerad woanders Augenzwinkern

Sorry.

Zitat:

Original von Ikarus2k
Für den 2. Eigenvektor bleibt die Ausgangsmatrix erhalten:

$\begin{align*} A=$\array{4-\lambda &2i\\-2i&1-\lambda $ \end{align*}$

womit man das Gleichungssystem

$\begin{align*} 4x+2iy=0 \end{align*}$
$\begin{align*} -2ix-y=0 \end{align*}$

erhält!

Die beiden Gleichungen sind wieder voneinander linear abhängig,

Das ist falsch. Dementsprechend has du auch einen falschen EV berechnet.

Gruß vom Ben

18.04.2004, 13:44

Ikarus2k

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Arghs, sorry, meinte natürlich daß die Gleichungen

$\begin{align*} 4x+2iy=0 \end{align*}$
$\begin{align*} -2ix+y=0 \end{align*}$

voneinander lin. abhängig sind.
Hatte da aus Versehen in der 2. Gleichung nen Minus statt nem Plus gepostet, hatte das aber bei mir richtig und auch damit die für die Gleichung jeweils richtigen EV beerechnet (hofft das zumindest).

Aber das eigentliche Problem, daß da zwei EVs sind, die nicht orthogonal zueinander sind, hab ich dennoch unglücklich

Wie gesagt, hatte da was falsch gepostet, aber siehst du jetzt noch nen Fehler???

Thx,
Markus

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