Punkte und Vektoren im Koordinatensystem

28.04.2008, 01:12

misterbong

Punkte und Vektoren im Koordinatensystem

Die Aufgabe, bei der ich zur Zeit irgendwie verzweifle, lautet:

Die Punkte O (0|0|0), A (1|0|0), B (0|1|0) und C (0|0|1) sind Eckpunkte eines Würfels. Bestimmen Sie die Koordinaten der Mittelpunkte der Diagonalen der Seitenflächen und der Raumdiagonalen des Würfels.

Zuerst habe ich mir diesen Würfel in ein kartesisches Koordinatensystem eingezeichnet. Dann habe ich die Raumdiaginale wie folgt versucht zu berechnen:
Vektor: AB (Pfeil ueber AB)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet aber nun das Ergebnis? Ist meine Raumdiagonale gleich (-1|1|1)? Und wie berechne ich die Seitenflächen? Wie muss der Ansatz dafür aussehen?

Vielen Dank schon einmal für eure Hilfe.

28.04.2008, 02:28

Bjoern1982

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Bevor wir an die eigentliche Lösung der Aufgabe gehen solltest du ein wenig Vokabeltraining machen und dir klarmachen was man unter diesen Begriffen versteht:

1) Diagonale bzw Diagonale einer Fläche und im Raum

2) Seitenflächen eines Würfels der Kantenlänge 1

Danach solltest du dir zum einen darüber Gedanken machen wieviele solcher Flächen- und Raumdiagonalen bei einem Würfel vorliegen und zum anderen was nun zur Lösung der Aufgabenstellung, also zum Bestimmen von Mittelpunkten von Strecken von Nöten ist.

28.04.2008, 02:48

misterbong

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Zitat:

Original von Bjoern1982
1) Diagonale bzw Diagonale einer Fläche und im Raum
2) Seitenflächen eines Würfels der Kantenlänge 1

zu 1) In einem Quadrat gibt es zwei Diagonalen, die sich schneiden und senkrecht zueinander stehen. In einem Würfel ist die Diagonale e= a * Wurzel (3).

In der Wikipedia steht folgendes, was ich aber nicht so wirklich verstehe: "die Gerade mit der Gleichung y = x, die im kartesischen Koordinatensystem der Ebene einen Winkel von 45 Grad mit den beiden Koordinatenachsen bildet"

zu 2) Die Seiten eines Würfels rechnet man mit A= a*a also A= 1*1 =1 aus. Und das dann mal 6, weil ein Würfel 6 Seiten hat.

28.04.2008, 02:58

WebFritzi

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Ein Würfel hat vier Raumdiagonalen!

28.04.2008, 03:04

misterbong

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ok. Ist eine der vier Raumdiagonalen dann $\begin{eqnarray*} e = a * \sqrt{3} = 1 * \sqrt{3} = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ lang?

28.04.2008, 03:46

WebFritzi

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Ja, aber das tut hier nichts zur Sache.