Binomial oder Hypergeometrische Verteilung?

29.11.2005, 17:32

antykoerpa

Binomial oder Hypergeometrische Verteilung?

Hi, ich haber hier echt ein schwerwiegendes Veständnisproblem.
Es geht um eine Aufgabe, die hier von jemandem gepostet worden ist:

"Ein Automat produziert 15% Ausschuss. Es werden 3 produzierte Stücke zufällig entnommen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der defekten Stücke in dieser Stichprobe als Tabelle an."

Dabei wurde vorgeschlagen, diese per Hypergeometrischer Verteilung zu rechnen. Meine erste Frage war, warum man dies nicht per Binomialverteilung lösen kann. Ich habe mir nun mal die Mühe gemacht, beides zu versuchen und bin dabei auf was (für mich) erstaunliches gestoßen:

Hypergeometrisch
-------------------------

P(keins defekt) = $\begin{eqnarray*} \frac {\begin{pmatrix} 15 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 85 \\ 3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 100 \\ 3 \end{pmatrix}} = 0.61082 \end{eqnarray*}$

P(1 defekt) = $\begin{eqnarray*} \frac {\begin{pmatrix} 15 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 85 \\ 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 100 \\ 3 \end{pmatrix}} = 0.33 \end{eqnarray*}$

P(2 defekt) = $\begin{eqnarray*} \frac {\begin{pmatrix} 15 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 85 \\ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 100 \\ 3 \end{pmatrix}} = 0.055 \end{eqnarray*}$

P(3 defekt) = $\begin{eqnarray*} \frac {\begin{pmatrix} 15 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 85 \\ 0 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 100 \\ 3 \end{pmatrix}} = 0.00281 \end{eqnarray*}$

Binomialverteilt
---------------------

P(keins defekt) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot 0.15^{0} \cdot 0.85^{3} = 0.614 \end{eqnarray*}$

P(1 defekt) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot 0.15^{1} \cdot 0.85^{2} = 0.325 \end{eqnarray*}$

P(2 defekt) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot 0.15^{2} \cdot 0.85^{1} = 0.057 \end{eqnarray*}$

P(3 defekt) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot 0.15^{3} \cdot 0.85^{0} = 0.00375 \end{eqnarray*}$

Jetzt meine Fragen:

1.) Welche dieser beiden Verteilungen ist nun korrekterweise anzuwenden, und warum?

2.) Warum ähneln sich die Werte so extrem (bis auf P(3 defekt))?

Helft mir bitte, ich dachte nun grad, dass ich diese ganze Wahrscheinlichkeitssache einigermaßen verstanden hätte, und diese Tatsache bzw. Fragestellung lässt mir einfach keine Ruhe.

29.11.2005, 19:02

JochenX

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das was du hypergeometrisch berechnest gilt bei 100 produzierten stücken, von denen genau 15 defekt sind

aber jetzt nimm mal 100000000000000000 produzierte stücke!
je größer die gesamtmenge, desto unwichtiger wird "mit oder ohne" zurücklegen

deswegen ist ja die binomialverteilung hier eine gute approximation für die (ohne GENAUE angaben eh nicht exakte) hypergeometrische verteilung.

alles klar?

29.11.2005, 19:10

antykoerpa

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Also das die binomiale Verteilung eine Annäherung zur hypergeometrischen Verteilung ist, das wusste ich noch gar nicht. Sowei sind wir im Stoff wohl nicht. Den Rest versteh wohl auch nicht ganz. Ist es denn komplizierter bei einer großen Menge (z.B. 1000000000 smile

) Stk. die hypergeometrische Verteilung zu berechnen, als die binomiale Verteilung? Oder warum zieht man überhaupt eine Approximation mittels binomialer Verteilung in Betracht?

29.11.2005, 19:13

JochenX

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im allgemeinfall ist die approximation auch sehr schlecht

insbesondere kannst du beim binomialmodell auch mal 5 asse ziehen, wenn du karten verteilst, das könnte beim pokern streit geben!

was ist denn der unterschied zwischen den beiden verteilungen?
wenn du das als urnenmodell hast, dann legst du beim binomialvert.modell ZURÜCK, beim hypergeom. NICHT

jetzt frage ich dich: wenn du 1000000 rote kugeln und 1000000 schwarze kugeln hast und daraus 3 mal ziehst; macht es dannn sinn, sich zu überlegen, dass (nachdem als erstes vielleicht eine rote gezogen wurde) danach nur noch 999999 rote kugeln sind?

29.11.2005, 19:23

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Ein weiterer, ganz auf die konkrete Berechnung bezogener Aspekt:
Versuch z.B. mal, den Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} {1000000 \choose 20} \end{eqnarray*}$ mit einem handelsüblichen Taschenrechner auszurechnen. smile

29.11.2005, 19:31

antykoerpa

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Ich verstehe nun, dass es keinen großen Unterschied mehr macht, welche Verteilung man wählt wenn die Menge N in Bezug auf die hypergeometrische Verteilung sehr (sehr!) groß wird und man deshalb die Binomialverteilung nehmen kann.

Zu dem was Arthur gesagt hat: Selbst wenn ich einen solchen Binomialkoeffizient auseinanderpflücken muss, so macht es doch keinen Unterschied ob ich das in der Binomialverteilung oder der hypergeometrischen Verteilung mache, oder?

Ich finds klasse, dass man hier so schnell ne Antwort bekommt. Macht richtig Spass... Prost

29.11.2005, 19:47

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Zitat:

Original von antykoerpa
Zu dem was Arthur gesagt hat: Selbst wenn ich einen solchen Binomialkoeffizient auseinanderpflücken muss, so macht es doch keinen Unterschied ob ich das in der Binomialverteilung oder der hypergeometrischen Verteilung mache, oder?

Ich hätte wohl doch eine ganze Aufgabe hinschreiben sollen, damit du den Effekt verstehst. Na egal, holen wir irgendwann nach. Augenzwinkern

29.11.2005, 21:55

bil

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und wenn du auch kein bock auf die binomialverteilung hast dann approximierst
du einfach mit der normalverteilung Augenzwinkern

dann sparst du dir den binomialkoeffizienten...
gruss bil

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