Elementarteiler

29.11.2005, 17:40	nafets	Auf diesen Beitrag antworten »
Elementarteiler Hallo zusammen, R ist ein Hauptidealring. Nun ist zu zeigen, dass aus $\begin{eqnarray} R/q_1R\oplus ... \oplus R/q_nR \cong R/p_1R \oplus ... \oplus R/p_nR \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q_n \mid ... \mid g_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} p_n \mid ... \mid p_1 \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} q_1 = \epsilon_1p_1, ..., q_n = \epsilon_np_n \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \epsilon_i \in U(R) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} q_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ assoziiert sind. Jetzt ist da noch ein weiterer Hinweis, dass mittels Isomorphiesätzen gezeigt werden soll, dass $\begin{eqnarray} (M \oplus N) /N \cong M \end{eqnarray}$ für zwei Moduln M und N gilt. Der Beweis des Hinweises ist kein Problem, aber wie kann ich diesen jetzt auf die eigentlich zu zeigende Behauptung übertragen? Danke im Voraus, Stefan
29.11.2005, 20:01	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin mir nie ganz sicher, welche Art Rechnungen man in welchen Ringen machen darf und welche nicht, daher ohne Gewähr aber versuche doch mal folgendes: $\begin{eqnarray} N:=R / q_1R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M:= R/q_2R \oplus \hdots \oplus R /q_nR \end{eqnarray}$ unsd jetzt teilst du deine Anfangsgleichung durch N, auf der linken Seite ist das alles wohldefiniert und du kriegst M, das heisst auf der rechten Seite muss auch irgendwas sinnvolles stehen. Dann müsste mit deinen Teilbarkeitsrelationen folgen das $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} q_n \end{eqnarray}$ sein muss. Das kannst du dann induktiv rückwärts für alle n machen und dann sollte aus der Isomorphie der beiden Ringe folgen, das die p_i und q_i sich jeweils höchstens um eine Einheit unterscheiden, also assoziiert sind.

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