Nullstelle e^(ax)-x

29.11.2005, 19:32	azur	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle e^(ax)-x Hallo, versuch gerade verzweifelt die Nullstellen der Funktion. e^(ax)-x zu berechnen. Ich weiß, dass eine Nullstelle bei a=1/e x=e liegt, aber mehr auch nicht. Kann mir wer weiterhelfen? cu azur
29.11.2005, 19:44	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=e^{ax}-x \end{eqnarray}$ hat je nach $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ zwischen keiner und zwei Nullstellen, insgesamt für alle $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ aber unendlich viele. Worum geht es in der Aufgabe genau? Geht es darum, das $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ zu finden, für das $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ genau eine Nullstelle hat?
29.11.2005, 19:48	azur	Auf diesen Beitrag antworten »
man soll die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von a bestimmen.
29.11.2005, 19:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} a\leq 0 \end{eqnarray}$ ist es einfach. Und für $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ hilft folgende Überlegung: Es ist dann $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x\to -\infty} ~ f(x) = \lim\limits_{x\to \infty} ~ f(x) = \infty \end{eqnarray}$ . Nullstellen kann das $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ also überhaupt nur haben, wenn $\begin{eqnarray} f(x^)\leq 0 \end{eqnarray}$ für die globale Minimumstelle $\begin{eqnarray} x^* \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray*}$ gilt.
29.11.2005, 19:57	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist es sinnvoll, wenn du dir erst einmal einen Überblick über den Graphen der Funktion machst. Wie du über eine Randuntersuchung nachweisen kannst, geht die Funktion gegen $\begin{eqnarray} \pm\infty \end{eqnarray}$ jeweils gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ , interessant ist also das Extremum. Was erkennst du aus der Lage des Extremums bezüglich der Anzahl der Nullstellen?
29.11.2005, 20:28	azur	Auf diesen Beitrag antworten »
boah. Der Lösungsansatz ist einfach herrlich. Alle Tiefpunkte haben die Koordinaten $\begin{eqnarray} y=1-ln(1/a) \end{eqnarray}$ Daraus folgt: eine Nullstelle bei a=1/e zwei bei 0<a<1/e und keine beim Rest. vielen Dank
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29.11.2005, 20:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a\leq 0 \end{eqnarray}$ nicht vergessen! Oder war von vornherein $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ vorausgesetzt?
29.11.2005, 20:32	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast den Fall $\begin{eqnarray} a\leq0 \end{eqnarray}$ vergessen. Da kommst du nach einer Randuntersuchung und Interpretation deines Ergebnisses für den Extrempunkt im Falle $\begin{eqnarray} a\leq0 \end{eqnarray}$ sofort zur Anzahl der Nullstellen.

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