Konvergenz von Reihen

29.11.2005, 21:06

Gast55

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Konvergenz von Reihen

Hallo!!

Ich hoffe ohr könnt mir hier ein wenig weiterhelfen...
Also ich soll die folgende Reihe auf konvergenz überprüfen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

Nur leider weiß ich nicht wie man das bei dieser Reihe macht?!?!

Also ich habe mir gedacht, da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$
So könnte man das da nicht einsetzen und dann kürzen oder so?!?
Also ich hätte dann da stehen: $\begin{eqnarray*} \frac{n!*n!}{2n!} \end{eqnarray*}$
Aber irgendwie komme ich da nun überhaupt nicht weiter... verwirrt

verwirrt

Oder bin ich auf nem ganz falschen Weg???

Danke fürs anschauen...

29.11.2005, 21:21

Mathespezialschüler

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Versuch's doch mal mit den bekannten Konvergenzkriterien!

Gruß MSS

29.11.2005, 21:38

Gast55

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Ja, das würde ich auch gerne machen, nur leider kann ich die hier nicht anwenden...
Und da meinte jemand man könnte das auch so machen, wie ich es versucht hatte, nur leider geht das auch nicht... Hilfe

Hilfe

29.11.2005, 21:40

Mathespezialschüler

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Wieso kannst du die hier nicht anwenden? Mit dem Quotientenkriterium geht das meiner Erinnerung nach ganz gut! Wo hast du denn da Probleme?

Gruß MSS

29.11.2005, 22:29

Sheli

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Kann es sein, dass die Reihe divergiert? Ich hab das Quotientenkriterium angewandt, und hatte zum Schluss nur noch (n+1) stehe und damit divergiert sie. Weiss nur nicht, ob ich das richtig angewandt hab.

29.11.2005, 22:34

Mathespezialschüler

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Nein, die Reihe konvergiert. Zeig mal, was du gemacht hast!

Gruß MSS

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29.11.2005, 22:44

Sheli

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Ich habs so gemacht:

$\begin{eqnarray*} lim| \frac{a_n+1}{a_n}| = lim \frac{\frac{(n+1)!}{2}}{\frac{n!}{2}} = lim \frac{2(n+1)!}{2n!} = lim \frac{n!(n+1)}{n!}=lim(n+1) \end{eqnarray*}$
aber wo ist da der Fehler? ... verwirrt

verwirrt

29.11.2005, 22:48

Mathespezialschüler

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Wie kommst du denn auf

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{{2n\choose n}}=\frac{n!}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Oben hattest du doch noch richtig geschrieben:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{{2n\choose n}}=\frac{(n!)^2}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ !

Gruß MSS

29.11.2005, 22:52

Sheli

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Oben was das nicht ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wir müssen doch $\begin{eqnarray*} a_n={2n\choose n}^{-1} \end{eqnarray*}$ untersuchen, und das ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{2} \end{eqnarray*}$

29.11.2005, 22:57

Mathespezialschüler

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Ja, richtig. Schreibfehler. Ändert aber nichts an der Tatsache, dass das falsch ist! Du darfst da nicht so kürzen, wie du es gemacht hast! Bei dir ist $\begin{eqnarray*} (2n)!=2\cdot n! \end{eqnarray*}$ , was absolut falsch ist!

Linke Seite: $\begin{eqnarray*} (2n)!=2n\cdot (2n-1)\cdot (2n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1 \end{eqnarray*}$ .

Rechte Seite: $\begin{eqnarray*} 2\cdot n!=2\cdot n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1 \end{eqnarray*}$ .

Und das ist eben nicht gleich!

Gruß MSS

29.11.2005, 23:20

Sheli

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Ach so....ja das stimmt allerdings. Ok, dann kann mans ja soch machen:

$\begin{eqnarray*} lim| \frac{a_n+1}{a_n}| = lim \frac{\frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!}}{\frac{n!n!}{(2n)!}} = lim \frac{(n+1)!(n+1)!(2n)!}{(2n+2)!n!n!} = lim \frac{n!(n+1)n!(n+1)(2n)!}{(2n)!(2n+1)!(2n+1)!n!n!}=lim( \frac{(n+1)(n+1)}{(2n+1)!(2n+2)!}) \end{eqnarray*}$ weiss nur noch nicht, wie ich das letzte weiter auflöse.
Ich hoffe ich hab micht jetzt nicht verrechnet.

29.11.2005, 23:23

Mathespezialschüler

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Beim letzten noch die Ausrufezeichen wegnehmen. Einmal kannst du kürzen und dann nochmal abschätzen.

Gruß MSS

29.11.2005, 23:29

Sheli

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$\begin{eqnarray*} lim( \frac{(n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+2)})= \frac{n+1}{2(2n+1)} < \frac{n+1}{2n+1}< \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Dann geht das gegen 0.5.

29.11.2005, 23:37

Mathespezialschüler

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Du solltest den Limes wegnehmen oder überall hinschreiben!

Zitat:

Original von Sheli
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2n+1}<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Schätze besser so ab:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2n+1}\cdot \frac{1}{2}<1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

29.11.2005, 23:43

Sheli

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Wenn ich das jetzt mit lim hinschreiben möchte, wie kann ich das formal richtig aufschreiben? also
$\begin{eqnarray*} lim( \frac{(n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+2)})= lim \frac{n+1}{2(2n+1)} < lim\frac{n+1}{2n+1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ das würde doch so nicht gehen, oder?

29.11.2005, 23:48

Mathespezialschüler

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Wenn du das mit dem Limes machen möchtest, frag ich mich, warum du überhaupt abschätzen willst.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{2n+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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