Konvergenzkriterien Reihen

29.11.2005, 22:04

Nadine-Wi.Ma

Konvergenzkriterien Reihen

Hallo an alle,

Ich bin am verzweifeln!!!
Wir sollen mit geeignetem Konvergenzkriterium die Konvergenz bestimmen.
Wir haben auch Studenten von höheren Semester gefragt, die konnten uns auch nicht weiter helfen.
Ich hoffe, das ihr das könnt.

Ich weiß schon nicht mal, welches Kriterium ich benutzen soll :-(((

1. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty~\frac{1}{(ln (n))^{ln (n)}} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{\sqrt{n +1}-\sqrt{n} }{(n^{3/4})} \end{eqnarray*}$

29.11.2005, 22:17

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

zur zweiten

ich würde erstmal

$\begin{eqnarray*} n^{3/4} = \sqrt{\sqrt{n^3}} \end{eqnarray*}$

so schreiben. Dann würde ich den term wie folgt erweitern

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{\sqrt{n +1}-\sqrt{n} }{(n^{3/4})} = \sum_{n=1}^\infty~\frac{\sqrt{n +1}-\sqrt{n} }{\sqrt{\sqrt{n^3}} }* \frac{\sqrt{n +1}+\sqrt{n} }{\sqrt{n +1}+\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

Das lößt Du dann auf und schon drängt sich die Methode auf. Zur ersten muss ich noch überlegen.

29.11.2005, 22:22

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten: $\begin{eqnarray*} \ln n\leq n-1 \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq \frac{1}{\operatorname e} \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend.

Gruß MSS

30.11.2005, 09:47

Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS

Leider überblicke ich nicht, wohin dein Tipp bei (1) führen soll. Ich würde es eher so machen: Für $\begin{eqnarray*} n\geq e^{e^2} \end{eqnarray*}$ kann man

$\begin{eqnarray*} (\ln n)^{\ln n} \geq \left( e^2 \right)^{\ln n} = e^{2\ln n} = n^2 \end{eqnarray*}$

abschätzen.

30.11.2005, 14:00

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
@MSS
Leider überblicke ich nicht, wohin dein Tipp bei (1) führen soll.

Ich auch nicht mehr. Ich wusste, dass irgendwas daran nicht klappte. Hab einfach in die falsche Richtung abgeschätzt.

Gruß MSS

30.11.2005, 15:59

Takeshi

Auf diesen Beitrag antworten »

zur 1) Verdichtungskriterium

30.11.2005, 21:14

Nadine-Wi.Ma

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen Dank. Es war ein super Tipp!!! Musste danach zwar auch Ewigkeit überlegen und rumprobieren, aber ich bin ja nicht umsonst Anfängerin. Habe alles noch vor mir. Hauptsache ich habe es geschafft!!!

So, hoffe jetzt dass es auch richtig ist :-)
Ich habe es mit Majorantenkriterium gemacht.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} }{\sqrt{\sqrt{n}} } * \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{n +1 -n}{\sqrt{(n + 1)*\sqrt{n^{3}}} + \sqrt{n*\sqrt{n^3}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\sqrt{n*\sqrt{n^3}+ \sqrt{n^{3}}} + \sqrt{n*\sqrt{n^3}}} \leq \frac{1}{2* \sqrt{n*\sqrt{n^3}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{n^{1/2}* n^{3/4}} <br /> = \frac{1}{n^{1/2+3/4}} = \frac{1}{n^{5/4}} \end{eqnarray*}$

Da die Majorante konvergent ist, ist die ganze Reihe konvergent

Stimmts?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zur ersten: $\begin{eqnarray*} \ln n\leq n-1 \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq \frac{1}{\operatorname e} \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend.

Gruß MSS

Das Problem ist, das ich das nicht einfach so verwenden kann. Man muss ja alles beweisen. Das ln n< n-1 ist hatten wir nicht :-((

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

30.11.2005, 21:21

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Arthur hat mich drauf hingewiesen und ich habs auch nochmal erwähnt: Meine Idee war quatsch und bringt dich nicht weiter! Siehe Arthurs oder Takeshis Tipp!

Gruß MSS

01.12.2005, 20:59

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mazze
Du hast da bissel mit den Wurzeln "rumgeschlampt"

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} }{\sqrt{\sqrt{n^3}} } * \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} +\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n +1 -n}{(n + 1)*\sqrt{n^{3}} + n*\sqrt{n^3}} \end{eqnarray*}$

Da hast du aber ein bißchen mit den Wurzeln geschlampt, nicht sie! Du hast einfach so eine Wurzel weggelassen. Bei Nadine ist hingegen alles richtig, bis auf die Tatsache, dass sie nicht ganz so konsequent mit dem Summenzeichen umgegangen ist.

Gruß MSS

01.12.2005, 21:32

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohja ich sehs grad die Basis is ja unterschiedlich.

=> edit

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenzkriterien Reihen

Verwandte Themen